Skizziere die Fläche, die von der Kurve γ berandet wird.

Question

Aufgabe:

Skizziere die Fläche der Kardioide, die von der Kurve berandet wird.

F = (-y,x)

γ: [0, 2PI] → ℝ 

$γ(t)=\left(\begin{array}{l}\cos (t)(1+\cos (t)) \\ \sin (t)(1+\cos (t))\end{array}\right)$

Problem/Ansatz:

Ich habe folgendes auf Geogebra eingetippt:

$\mathrm{F}=\mathrm{Kurve}(-(\sin (\mathrm{t})(1+\cos (\mathrm{t})), \cos (\mathrm{t})(1+\cos (\mathrm{t}))), \mathrm{t}, 0,2 \pi)$

Und dieser Graph kam raus.

Ich habe rechnerisch die Fläche ausgerechnet:

3PI/2.

Ist das die gesuchte Fläche? Von 0 bis 2PI. also alles im 1. quadranten?

wenn nötig ich kann die Rechnung auch noch hochladen.

mfg

Answer 1

Hallo

 du hast nicht die Kurve γ(t) eingetippt, sondern eine gedrehte Kurve. F ist ja wohl ein Vektorfeld, das du wahrscheinlich längs der Kurve integrieren sollst.?

 Oder steht in der Aufgabe, dass du die Fläche bestimmen sollst. (dann ist es egal , ob du sie drehst.)

von 0 bis 2pi ist das die ganze Kurve, nicht nur im 1. Quadranten.

Also sag uns die genaue Aufgabe.

Gruß lul

Comments

Ok hier ist die ganze Aufgabenstellung:

mfg

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hier ist meine Rechnung:

$F = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}$

$\int_{M} F d \vec{S}=\int_{M} \partial y F_{x}-\partial y F_{y} dA$

$\Rightarrow |M|=1 / 2 \quad \int \limits_{a}^{b} \dot{\gamma}_{2}(t) \gamma_{1}(t)-\gamma_{2}(t) \dot{\gamma}_{1}(t) d t$

$\dot{\gamma}(t)=\left(\begin{array}{l}-\sin (t)(1+2 \cos (t)) \\ \cos (t)+\cos ^{2}(t)-\sin ^{2}(t)\end{array}\right)$

$\begin{aligned} \Rightarrow 1 / 2 \int \limits_{0}^{2 \pi} &\left(\cos (t)+\cos ^{2}(t)-\sin ^{2}(t)\right)(\cos (t)(1+\cos (t))) \\ &-(\sin (t)(1+\cos (t))) \cdot(-\sin (t)(1+2 \cos (t))) d t\end{aligned}$

$= ...$

$=1 / 2\left(\int \limits_{0}^{2 \pi} 1 d t+\int \limits_{0}^{2 \pi} 2 \cos ^{3}(t) d t+\int \limits_{0}^{2 \pi} \cos ^{4}(t) d t\right. +\int \limits_{0}^{2 \pi} 2 \sin ^{2}(t) \cos (t) d t+\int \limits_{0}^{2 \pi} \sin ^{2}(t) \cos ^{2}(t) d t$

$=1 / 2\left(2\pi+ 0 + \frac{3\pi}{4} +0+\frac{1\pi}{4} \right)$

$= \frac{3\pi}{2}$

Das ist meine Lösung. stimmt mit der Musterlösung überein.

Problem:

Wie skizziere ich diese Fläche nun?

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Hallo

 die Fläche zeichnest du, indem du wirklich γ(t) in geogebra eingibst. statt F(γ(t)) die Form bleibt dabei gleich. beides sind Kardioiden.

warum ∫Fds die Fläche sein soll verstehe ich nicht wirklich, ich habe die Fläche 6pi raus (aber wenn du ne Musterlösung hast irre ich mich wohl?)

Gruß lul

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hey

vielleicht hast du nen kleinen rechenfehler. Die integrale sind ziemlich kompliziert... ich konnte das nur mit einer lsite mit trigonom. zusammenhängen lösen. oder gibt es da nen schnellen trick?

was ich oben geschrieben habe ist nur n kleiner teil der rechnung. dank formelerkennung hat es nur ne viertelstunde gedauert zu tippen :D

und zur skizze. ich muss das rechnerisch , also selber machen. wir dürfen keine hilfsmittel haben. aber es soll ja auch nur eine skizze sein. da ist leider keine skizze in der lösung die ich habe.

mfg

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Hallo

 für die Fläche habe ich die Polardarstellung r(φ)=2*(1+cos(φ)) benutzt, dann ist das Integral sehr einfach.

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hey,

ja das ist sehr einfach... aber wie kommt man da drauf?

ich weiß, wie man in polarkord. umwandeln kann, wenn wir x und y haben...

wie kann ich das in polarkoord. umwandeln?

$\begin{aligned} \Rightarrow 1 / 2 \int \limits_{0}^{2 \pi} &\left(\cos (t)+\cos ^{2}(t)-\sin ^{2}(t)\right)(\cos (t)(1+\cos (t))) \\ &-(\sin (t)(1+\cos (t))) \cdot(-\sin (t)(1+2 \cos (t))) d t\end{aligned}$

mfg

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r²=x²+y²

lula

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genau... hatte ich vergessen. danke

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Hallo

 für ne Skizze ein fach 6 einfache Winkel  von 0 bis pi einsetzen, da der Rest dann symmetrisch zur x- Achse ist   hat man dann 10 Punkte auf der Kurve damit kriegt man es schon ganz gut hin

Gruß lul

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hallo,

ne frage bezüglich der skizze:

habe nun so was rausbekommen, nachdem ich 0 bis π in γ(t) eingesetzt habe:

max und min stimmen nicht ganz, wusste nicht wie ich mit geogebra 1/2+1/√2 = 1.2 eintippen kann. für π/4.

für π bekomme ich 0 raus. also haben wir nur etwas im ersten und 4 quadranten.

x und y-achsenabschnitt -1 und eben 2 für x.

kann ichdas so lassen oder ist das total falsch?

mfg

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Hallo

der Bogen im 1. Quadranten sieht gut aus, aber wenn es nur bis pi geht, geht es im 2. Quadranten  und nicht im 4 ten,

Geogebra kann es ja einfach zeichnen

a:(cos(t) (1 + cos(t)), sin(t) (1 + cos(t))), 0<t<pi eingeben: das ist das Ergebnis.

warum du in geogebra so was 1/2+1/√2 = 1.2 für pi/4 eingeben willst verstehe ich nicht. geogebra versteht doch sin und cos?

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ich wusste nicht wie ich die formel in geogebra eingeben kann.

habe deshalb manuel mit dem kreis tool gezeichnet xD

also ich komme irgendwie nicht auf den teil für x<0.

wenn ich pi einsetze komme ich auf 0. das ist wohl auch richtig. aber bei mir fehlt der bogen.

wie erhalte ich den?

mfg

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also durch raten komme ich auf (-1/4,√3/4) für 2π/3

und ich weiß ja, dass ich am ende bei 0 landen muss. dann kann ich das so ungefähr einzeichnen.

und ich muss das und noch die gespiegelte davon nehmen?

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ja von pi bis 2pi ist es die gespiegelt.

du solltest einfach die Winkel pi/6,pi/3,pi/2, 2pi/6 usw einsetzen deren sin und cos kennt man und kann schnell überschlagen.

in geogebra kannst du statt t einen Schieberegler b erstellen  und dann A=  und b statt t  reinschreiben, dann Spur ein  für A und du kannst die Werte verfolgen

Gruß lul

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.jo danke

ja genau diese sin cos werte sollte man auswendig lernen.