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Aufgabe:

Gleichung von Polarkoordinaten in x,y-Koordinaten

 1. r=4*(1+sin(θ))

 2. Θ=\( \frac{π}{4} \)

Problem/Ansatz:

Bei 1. Komme ich leider nicht weiter

Mein Schritte bis jetzt :      r = 4*(1+sin(θ))

                                         r = 4+4sin(θ)                                                       | r = \( \sqrt{x^2+y^2} \)

                                 x2 +y2 = (4+4sin(θ))2

                                            = 16+32sin(θ)+16sin2 (θ)                                 | sin(θ)=\( \frac{y}{r} \)

                                            = 16+32\( \frac{y}{r} \) +16\( \frac{y^2}{r^2} \)

und jetzt weiß ich nicht weiter ??



bei 2. θ=\( \frac{π}{4} \)

habe ich leider keinen richtigen Ansatz

                                      

                                        

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3 Antworten

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Beste Antwort

Wenn man weiß, dass es sich bei \(r=4(1+\sin(\theta))\) um eine Kardiode handelt, kann man aus der Gleichung aus Wiki, Vertauschen von \(x\) und \(y\) und Negieren von \(y\) folgende implizite Relation zaubern:$$(x^2+y^2)^2 -8y(x^2+y^2)-16x^2=0$$die formale Herleitung könnte so laufen:$$\begin{align} r & =4(1+\sin(\theta)) &&\left|\,-4\sin(\theta) \right. \\ r-4\sin(\theta) & =4 &&\left|\,^2 \right. \\ r^2-8r\sin(\theta) + 16 \sin^2(\theta) & =16 &&\left|\, \sin^2(\theta) = 1- \cos^2(\theta)\right. \\ r^2-8r\sin(\theta) + 16 - 16 \cos^2(\theta) & =16 &&\left|\,-16 \right. \\ r^2-8r\sin(\theta)- 16 \cos^2(\theta) & =0 &&\left|\, \cdot r^2\right. \\ r^4-8(\underbrace{r\sin(\theta)}_{=y})r^2- 16 (\underbrace{r\cos(\theta)}_{=x})^2 & =0 &&\left|\, r^2=x^2+y^2\right. \\ (x^2+y^2)^2-8y(x^2+y^2)- 16 x^2 & =0  \\ \end{align}$$

(zur Kardioide siehe auch dieser Beitrag)


Die Aufgabe 2.) ist doch einfach! \(r\) ist beliebig und \(\theta\) hat immer den gleichen Wert von \(\theta = \pi/4\) - also$$y=x$$oder auch formal:$$\begin{align} \theta &= \frac {\pi}4 && \left|\,  \sin \right. \\ \sin(\theta) &= \sin\left( \frac{\pi}{4}\right) = \frac 12 \sqrt 2&& \left|\,  \cdot r\right. \\ r \cdot \sin(\theta) &= \frac r2 \sqrt 2 && \left|\,  ^2\right. \\ \left( r \cdot \sin (\theta)\right)^2 &= \frac 12 r^2 && \left|\, y= r\cdot \sin(\theta), \space r^2=x^2+y^2 \right.\\ y^2 &= \frac 12(x^2 +y^2) && \left|\,-\frac 12 y^2, \space \cdot 2, \space \sqrt{\space}  \right. \\ y&=x\end{align}$$Gruß Werner

von 21 k

.. ich habe jetzt auch die Herleitung obiger Gleichung heraus gefunden - noch interessiert?

Vielen Dank Werner-Salomon.

Ja, bitte :-)

bitte schön! (s. Antwort)

+1 Daumen

Hallo

besser

x=r*cos(Θ), y=r*sin(Θ)

deshalb x= 4*(1+sin(θ))*cos(Θ)

              y= 4*(1+sin(θ))*sin(Θ)

b) r ist beliebig,  deshalb x=rcos(π/4) y=...

Gruß lul

von 29 k

ich habe das ehrlich gesagt nicht verstanden wie du auf x und y gekommen bist.

Das x = r*cos(θ) und y = r*sin(θ) ist ist klar nur, wie setze ich das dann in meinem Fall ein ? Ist mein Rechenweg total falsch ?

Ist mein Rechenweg total falsch ?

Es kommt darauf an, was am Ende raus kommen soll. Wenn Du eine implizite Gleichung suchst, in der nur \(x\) und \(y\) vorkommen, dann ist Dein Weg richtig.

Wenn Du eine parametrisierte Kurve mit einem freien Parameter - hier z.B. \(\theta\) - suchst, dann ist der Ansatz von lul der richtige.

Vielen Dank Werner-Salomon

+1 Daumen

ich vermute mal du sollst es in kartesische Koordinaten umrechnen. Beide Aufgaben entsprechen Kurven.

1) es gilt x=rcos(theta) =

4*(1+sin(theta))*cos(theta)

y=rsin(theta)=4*(1+sin(theta))*sin(theta)

2) x=r*cos(theta)=r*cos(pi/4)=0

y=rsin(theta)=r*sin(pi/4)=r

Das ist eine Gerade.

von 34 k

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