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Wenn ein Kreis \( K_{1} \) vom Radius \( r_{1} \) außen auf einem Kreis \( K_{2} \) vom Radius \( r_{2} \) abrollt, beschreibt ein auf dem Kreisumfang von \( K_{1} \) fixierter Punkt eine sogenannte Epizykloide.
a) Leiten Sie die Gleichung der Epizykloide für den Fall \( r_{1}=r_{2} \) und den Startpunkt \( x_{0}=(0,0) \) her. Dabei seien die Mittelpunkte von \( K_{1} \) und \( K_{2} \) anfänglich \( \left(r_{1}, 0\right) \) bzw. \( \left(-r_{2}, 0\right) \)
b) Fertigen Sie dazu eine Skizze an.


Vielleicht kann mir ja jemand helfen.

von

dieser Beitrag könnte hilfreich sein.

Leiter hilft mir dieser Beitrag nicht wirklich.

Ich weiß, dass die Parameterdarstellung der gesuchten Epizykloide wie folgt aussieht:

$$x(\phi)=2r(1-cos(\phi))cos(\phi)$$

$$z(\phi)=2r(1-cos(\phi))sin(\phi)$$

Die Skizze ist auch kein Problem.

Einzig die Herleitung der Gleichung bereitet mir noch Probleme.

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo,

Einzig die Herleitung der Gleichung bereitet mir noch Probleme.

schau Dir dazu folgende Zeichnung an:

blob.png

Der Kreis mit dem Mittelpunkt \(M_1\) rollt auf dem Kreis links mit festem Mittelpunkt bei \(M_2\) ab. Der Ursprung \(O= (0,0)\) ist der grüne Punkt im Schnittpunkt der Koordinatenachsen (schwarz). Beide Kreise haben den Radius \(r\) - im Bild ist \(r=1\). Beachte bitte, dass das Viereck \(M_2OPM_1\) ein Trapez ist, daher ist \(\angle XOP = \phi= \angle XM_2M_1\). Jeder blau markierte Winkel im Bild ist \(\phi\). 

Für die X-Koordinate ergibt sich:$$\eqalign{ x &= |OX| \\&= |OR| - |XR| \\&=  |M_2R| - r - |XR|  \\ &=  2r \cos(\phi) - r - r \cos(2\phi) \\&= 2r\left( \cos(\phi)  - \frac 12(1+\cos(2\phi))\right)  \\&= 2r\left( \cos(\phi) - \cos^2(\phi)\right) \\&= 2r\left( 1 - \cos(\phi)\right)\cos(\phi)}$$und für die Y-Koordinate gilt$$\eqalign{y &= |XP|\\ &= |RM_1| - |PX'| \\&= 2r\sin(\phi) - r \sin(2 \phi) \\&=  2r\sin(\phi) - 2r \cos(\phi)\sin( \phi) \\&= 2r(1-\cos(\phi))\sin(\phi) }$$Bei der Umwandlung habe ich von zwei Doppelwinkelfunktionen Gebrauch gemacht (siehe hier).

Falls irgendwas unklar ist, frage bitte nach.

Gruß Werner

von 27 k

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