Berechne die darstellende Matrix

Question

Sei f : ℝ³ ->ℝ⁴  die durch die Matrix

A = \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 2&4&7 \\ 1&3&6 \end{pmatrix} \)

gegebene lineare Abbildung, und g : ℝ⁴ -> ℝ²  die durch die Matrix

B = \( \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \)

gegebene lineare Abbildung

Aufgabe: Berechnen Sie die darstellende Matrix (bezüglich der Standardbasen), welche die lineare Abbildung

g o f : ℝ³ -> ℝ² definiert.

ich wäre für einen Lösungsweg dankbar :)

Comments

sorry, hier stand etwas falsches

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$$ M_S^S(g\circ f) = M_S^S(g)\cdot M_S^S(f) = B\cdot A $$

Eintippen kannst du selbst: https://matrixcalc.org/de/

Answer 1

Aloha :)

Wenn \(g\circ f\) auf einen Vektor \(\vec x\) wirkt, wirkt auf diesen zunächst auf die Abbildung \(f\), was durch eine Multiplikation mit der Matrix \(\mathbf A\) realisiert wird. Das Ergebnis dieser Funktion \(f(\vec x)\) bzw. \(\mathbf A\cdot\vec x\) trifft dann auf die Funktion \(g\), was durch Multiplikation mit der Matrix \(\mathbf B\) realisiert wird. Daher wird \(g\circ f\) durch folgende Matrix \(\mathbf C\) realisiert:$$\mathbf C=\mathbf B\cdot\mathbf A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 2&4&7 \\ 1&3&6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & -6 & -8\\3 & 4 & 5\end{pmatrix}$$