(Analysis 1) Beweisen von limn

Question

Aufgabe:

1.Beweisen Sie: Wenn limn → ∞ an = a und an ≥ 0 für alle n∈N, dann gilt auch a ≥ 0 und limn → ∞√an=√a.

2.Beweisen Sie: limn → ∞ √n (√n+ 1−√n) = 1/2,

limn → ∞ √9n2+ 2n+ 1−3n) =1/3

Answer 1

zu 1. Angenommen es wäre a<0, dann gäbe es in der Umgebung von a mit

dem Radius |a| /2 nur negative Zahlen. Ansererseits müssen von einem

Index N an, alle folgenden Folgenglieder in dieser Umgebung liegen. Da

diese aber alle nicht negativ vorausgesetzt sind, ergibt sich ein Widerspruch.  q.e.d.