Zufallsvariable, Verteilungsfunktion, Gesprächsdauer

Question

Aufgabe:

Die Zufallsvariable X bezeichnet die voraussichtliche Gesprächsdauer (in Minuten) eines Gesprächs bei einer Telefonhotline. Die maximale Gesprächsdauer ist 5 Minuten.

Die Verteilungsfunktion F von X steigt in [0;5] linear an.

Problem/Ansatz

a) Bestimme die Gleichung der Dichtefunktion f von X und interpretiere den Wert F(1)!
b) Begründe die Richtigkeit der folgenden Gleichung: P(1<X<p)=1-F(1)!

Answer 1

Aloha :)

a) Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) gibt hier in der Aufgabe an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Gespräch weniger als \(x\) Minuten dauert. Da die maximale Gesprächsdauer \(x=5\) Minuten beträgt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gespräch weniger als \(5\) Minuten dauert genau \(1\), das heißt \(F(5)=1\). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gepsräch \(x=0\) Minuten dauert ist gleich \(0\), denn dann gibt es ja gar kein Gespräch, das heißt \(F(0)=0\).

Wir wissen weiter, dass die Verteilungsfunktion \(F(x)\) im Intervall \([0|5]\) linear ansteigt, es handelt sich also um eine Gerade. Mit \(F(5)=1\) und \(F(0)=0\) kennen wir zwei Punkte dieser Geraden und können daraus die Geradengleichung aufstellen:$$F(x)=\frac{F(5)-F(0)}{5-0}\cdot x+F(0)=\frac{1-0}{5-0}\cdot x+0=\frac{1}{5}x$$

~plot~ 1/5*x*(x<=5) ; [[0|6|0|1]] ~plot~

Der Wert \(F(1)=\frac{1}{5}=20\%\) bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für eine maximale Gesprächsdauer von \(1\) Minute bei \(20\%\) liegt. Die Dichtefunktion \(f(x)\) ist die Ableitung der Veteilungsfunktion \(F(x)\), das heißt:$$f(x)=F'(x)=\frac{1}{5}$$

~plot~ 1/5*(x<=5) ; [[0|6|0|0,3]] ~plot~

b) Die Wahrscheinlichkeit \(F(1<x<5)\), dass ein Gespräch zwischen \(1\) und \(5\) Minuten dauert, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass es maximal \(5\) Minunten dauert minus der Wahrscheinlichkeit, dass es maximal \(1\) Minute dauert. Wegen \(F(5)=1\) bedeutet das:$$F(1<x<5)=F(x=5)-F(x=1)=F(5)-F(1)=1-F(1)$$