Alle kritischen Punkte bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle kritischen Punkte der Funktionen

$$f(x, y)=(x-y)^{4}-7\left(x^{2}+y^{2}\right)+18 x y \quad \text { und } \quad g(x, y)=y^{2}-y^{4}+\sin (x)$$

$$\text{d.h. alle Punkte mit} \nabla f=0 \text{ (bzw.} \nabla g=0 ).$$ Untersuchen Sie, ob dort Minima, Maxima oder Sattelpunkte vorliegen.

Bekomme das irgendwie nicht richtig hin, hoffe ihr könnt mir helfen. Vielen Dank im Voraus.

Comments

Hallo,

welches Wissen fehlt dir? Wie man einen Gradient berechnet? Oder wie man das Gleichungssystem löst, wenn man $\text{grad}f(x,y)=(0,0)$ setzt? Oder wie man die gefundenen kritischen Punkten auswertet, d.h. ob Minimum, Maximum, Sattelstelle usw.?

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Das Gleichungssystem und die Auswertung weiß ich nicht.

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Das Gleichungssystem und die Auswertung weiß ich nicht.

Dann schreibe mal die Ableitungen von f nach x und nach y hin.

Answer 1

Hallo,
setze:$$\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix} 4(x-y)^3-14x+18y\\ -4(x-y)^3-14y+18x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}\implies \begin{cases}4(x-y)^3-14x+18y=0 \, \text{(I)} \\ -4(x-y)^3-14y+18x=0 \, \text{(II)} \end{cases}$$ Addierst du die beiden Gleichungen, so ist $-14x-14y+18y+18x=4x+4y=0$ und damit letztlich $y=-x$. Setzt du das in (i) ein, so hast du $4(2x)^3-14x-18x=32x^3-32x=32x(x^2-1)=0$. Insgesamt hast du dann $x_{1,2}=\pm 1$ und damit die beiden kritischen Punkte $(1,-1)$ und $(-1,1)$. Setzt du $x=-y$ in (ii) ein, so folgt er letzte kritische Punkt, nämlich $(0,0)$.

Um diese kritischen Punkte den verschiedenen Begriffen (Maximum, Minimum, Sattelstelle usw.) zuzuordnen, guckst du dir die Definitheit der Hesse-Matrix an. Es gilt:$$H_f(x,y)=\begin{pmatrix} 12(x-y)^2-14 & -12(x-y)^2+18 \\ -12(x-y)^2+18 & 12(x-y)^2-14 \end{pmatrix}$$ und damit $H_f(0,0)=\begin{pmatrix} -14 & 18 \\ 18 & -14 \end{pmatrix}$. Da wir $\lambda_1 =4$ und $\lambda _2=-32$ als Eigenwerte haben, also positiv und negative, ist $H_f(0,0)$ indefinit und $(0,0)$ damit ein Sattelpunkt.

Weiter gilt $H_f(1,-1)=H_f(-1,1)=\begin{pmatrix} 34 & -30 \\ -30 & 34 \end{pmatrix}$. Diese Matrix hat mit $\lambda_1=4$ und $\lambda_2=64$ nur positive Eigenwerte (und die Matrix damit positiv definit), damit sind beide Punkte jeweils ein striktes lokales Minimum von $f$.

Die Minima siehst du ganz gut an den beiden dunkelblau-eingefärbten Tälern, während der Sattelpunkt genau in der Mitte ist.

Comments

Das war viel Mühe um nichts.

Die partiellen Ableitungen von (x-y)⁴ unterscheiden sich im Vorzeichen.

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Das sind die Fehler, die den nagenden Schmerz im Leben und das Leben in nagendem Schmerz erhalten.

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Ach ja, unser Hobbyphilosoph ...

;-)

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Da habe ich mich als kleiner Epigone aber Kierkegaard bedient, bzw. von ihm paraphrasiert.

@Fragesteller : Die Antwort wurde grundlegend überarbeitet.