Sphärisches n-Eck: Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt durch

Question

Sphärisches n-Eck

Sei \( n \geq 3 \) und \( P_{n} \) ein sphärisches \( n \) -Eck mit Winkeln \( \alpha_{i} \) auf der Einheitssphäre, sodass für alle \( i \) die Relation \( 0<\alpha_{i}<\pi \) gilt.

Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt \( \mathfrak{F}\left(P_{n}\right) \) von \( P_{n} \) durch
$$ \mathfrak{F}\left(P_{n}\right)=\sum \limits_{i=1}^{n} \alpha_{i}-(n-2) \pi $$
gegeben ist.

Hinweis: Verwenden Sie ohne Beweis, dass die kürzeste Verbindung zwischen zwei Ecken des Polygons \( P_{n} \) im Inneren von \( P_{n} \) liegt.

Comments

Von Version ohne Bilder: 

Titel: Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt F(Pn) von spährisches Rechteck

Stichworte: flächeninhalt

Sei n ≥ 3 und P_n ein sphärisches n-Eck mit Winkeln α_i auf der Einheitssphäre, sodass für
alle i die Relation 0 < αi < π gilt.
Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt F(P_n) von P_n durch

F(P_n) = \( \sum\limits_{i=1}^{n}{αi − (n − 2)π} \)

gegeben ist.

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Answer 1

Hallo,

nach dem vorliegenden Hinweis kann man das n-Eck \(P_n\) derart in \(n-2\) Dreiecke aufteilen, so dass die Summe aller Dreiecksflächen gleich der Fläche von \(P_n\) sein muss. Ich nenne die Winkel im \(k\)'ten Dreieck \(\beta_{kj}\), dann ist doch $$\begin{aligned} \mathfrak F(P_n) &= \sum_{k=1}^{n-2} \mathfrak F_{\triangle k} \\& = \sum_{k=1}^{n-2} \left( \left( \sum_{j=1}^3 \beta_{kj}\right)  - \pi \right) \\&= \left( \sum_{k=1}^{n-2} \sum_{j=1}^3 \beta_{kj}  \right) - (n-2)\pi \\&= \sum_{i=1}^n \alpha_i - (n-2) \pi\end{aligned}$$

Comments

Danke werner, Ist das auch richtig??

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Ist das auch richtig??

Gute Frage! ich werde Dir keine Antwort schreiben, von der ich weiß, dass sie falsch ist. Ich kann Dir natürlich nicht garantieren, dass sie stimmt. Und schon gar nicht, ob sie ausreichend ist.

Versuche selbst, die Lösung nach zu vollziehen. Und wenn was nicht klar ist, so frage nach.

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Wie bist du auf die Lösung gekommen?? Danke für die Rechnung!

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Wie bist du auf die Lösung gekommen?

Durch Nachdenken ;-)

ich habe nichts anderes gemacht, als mir ein n-Eck in der Ebene vorzustellen. Wenn man in der Euklidischen Ebene die Fläche oder Winkelsumme eines (konvexen) n-Ecks bestimmen will, so geht man genauso vor.