Zeigen Sie, dass Unterräume U und W von V existieren

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum und f : V → V ein Endomorphismus für den f ²  = f gilt. Zeigen Sie, dass es
Unterräume U und W gibt, für die gilt:
• V = U ⊕ W,
• f(u) = 0 für alle u ∈ U,
• f(w) = w für alle w ∈ W

Problem/Ansatz:

Ich habe mir überlegt, dass U = img(V) und W = kern(V), aber ich weiß noch nicht, wie ich bei diesem Beweis vorgehen soll?

Könnte mir jemand helfen?

Answer 1

Ich habe mir überlegt, dass U = img(V) und W = kern(V)

Umgekehrt. U = kern(V), W = img(V).

aber ich weiß noch nicht, wie ich bei diesem Beweis vorgehen soll?

Man kramt die Definition von U ⊕ W raus und zeigt die dort geforderten Eigenschaften.