Betrachten Sie die Unterräume U = <(1,0,2,-1),(0,1,3,1)>, W = <(1,1,-1,2),(0,1,9,-1)>. Basen von U+V und U n W?

Question

Betrachten Sie die Unterräume

$$ \begin{aligned} U &=\langle(1,0,2,-1),(0,1,3,1)\rangle \\ W &=\langle(1,1,-1,2),(0,1,9,-1)\rangle \end{aligned} $$

des reellen Standardvektorraums \( \mathbb{K}^{4} \). Bestimmen Sie Basen für \( U+W \) und \( U \cap W \).

Comments

Matrixumformungen durchführen:

U+W

1 0 2 -1                                  1 0 2-1                                1  0 2 -1                        102-1

0 1 3  1                                   01 31                                   0 1 3  1                         0131

1 1  -1 2  -I                             0 1 -3 3 -II                           0 0-6  2                            00-62

0 1 9-1                                   0 1 9 -1  -II                           0 0  6 -2  +III                 0000

Also eine Basis von U+W = <(1,0,2,-1), (0,1,3,1) ,(0,0,6-2)>

---

Ist die Basis von U geschnitten W ( (-1, -2, -8, -1) ) ?

---

Ist die Basis von U geschnitten W ( (-1, -2, -8, -1) ) ?

Möglich. Was hast du gerechnet?

Ich würde folgende Gleichung ansetzen

a*u1 + b*u2 = c*w1 + d*w2         , wobei a,b,c und d Element R und U=<u1,u2> ...

und so a,b,c und d bestimmen. 

---

Ich hatte den Zassenhaus-Algorithmus verwendet, also eine Matrix gebaut, die so aussieht:


1 0 2 -1   1 0 2 -1

0 1 3 1     0 1 3 1

1 1 -1 2    0 0 0 0

0 1 9 -1    0 0 0 0


Nach Zeilenumformungen hatte ich dann


1 0 2 -1    1 0 2 -1

0 1 3 1      0 1 3 1

0 0 -6 2     -1 -1 -5 0

0 0 0 0      -1 -2 -8 -1


Bei der linken Seite kann man eine Basis von U + W ablesen. Bei der rechten Seite glaube ich, dass die letzte Zeile eine Basis von U geschnitten W ist. Aber ich habe diesen Algorithmus nicht wirklich verstanden. Dein Ansatz basiert aber auf dem selben Prinzip oder?

---

Ja vermutlich. Ich kenne diesen Alg. nicht.

Du kannst ja zur Kontrolle noch nachrechnen, ob dein Vektor Darstellungen

als a*u1 + b*u2 und als c*w1 + d*w2 hat.

Ich kopiere mal meine Kommentare zu einer Antwort zusammen.

Answer 1

Ist die Basis von U geschnitten W ( (-1, -2, -8, -1) ) ?

Möglich. Was hast du gerechnet?

Ich würde folgende Gleichung ansetzen

a*u1 + b*u2 = c*w1 + d*w2         , wobei a,b,c und d Element R und U=<u1,u2> ...

und so a,b,c und d bestimmen. 

 Dein Ansatz basiert aber auf dem selben Prinzip oder? 

Ja vermutlich. Ich kenne diesen Alg. nicht.

Du kannst ja zur Kontrolle noch nachrechnen, ob dein Vektor Darstellungen

als a*u1 + b*u2 und als c*w1 + d*w2 hat.

Comments

Wieso muss a*u1 + b*u2 = c*w1 + d*w2 gelten?

Und wie löst man diese Gleichung?

---

Wenn ein Vektor in der Schnittmenge der beiden span liegt, muss er sich als Lin.komb. der gegebenen Vektoren Schreiben lassen.

Zur Lösung: Vektorgleichung in 4 Zeilengleichungen aufteilen und dann das LGS nach a,b,c,d auflösen.

Lies aber besser erst mal noch die anderen Kommentare. Viellleicht erkennst du da ein schnelleres Verfahren, das besser zu eurem Kurs passt.