Direkter und indirekter beweis aufgabe

Question

Hallo. Wie beweise ich folgende Aussagen:

Direkt und indirekt beweisen \( ^{\prime \prime} \) Beweisen Sie die folgenden Aussagen jeweils sowohl indirekt als auch direkt. Hinweis: Wenn Sie beim Beweisen einer der beiden Wege merken, dass Sie nicht weiterkommen, können Sie einen Weg in der Mitte abbrechen.
a. Für zwei reelle Zahlen \( a, b \) mit \( a \geq 0 \) und \( b \geq 0 \) gilt: \( \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a b} \)
b. Die Summe aus drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist durch 3 teilbar.
c. \( a+b \) ist nicht durch 2 teilbar \( \Rightarrow \) a ist gerade oder b ist gerade.

Answer 1

a)

(a + b)/2 ≥ √(a·b)
a + b ≥ 2·√(a·b)
(a + b)^2 ≥ 4·a·b
a^2 + 2·a·b + b^2 ≥ 4·a·b
a^2 - 2·a·b + b^2 ≥ 0
(a - b)^2 ≥ 0

b)

n + (n + 1) + (n + 2)
= 3·n + 3
= 3·(n + 1)

c)

Die Summe zweier gerader Zahlen ist eine gerade Zahl.
Die Summe zweier ungerader Zahlen ist eine gerade Zahl.
Die Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl ist eine ungerade Zahl.

Ist das Ergebnis also eine ungerade Zahl muss ein Summand gerade und der andere ungerade sein. Dann ist aber auch der eine oder der andere Summand gerade.