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Ich habe eine Aufgabe, bei der ich indirekt beweisen soll:

 

Es seien a1,a2, ... , am ∈ ℕ . Beweise : Gilt für ein n ∈ ℕ

    (i = 1 bis m) ∏ ( 1 + ai) > 2n  , so folgt  (i =1 bis m) ∑ ai  > n

Hinweis: Zeige zunähst (1+k) ≤ 2k  ∀ k ∈ ℕ  mit vollständiger Induktion

 

Den Hinweis habe ich wie folgt gelöst:

I.A :  k=1 : 1+1 ≤ 21    ⇔  2≤2  ✓

I.V :  (1+k) ≤ 2k  , ∀ k ∈ ℕ

I.S : k → k+1 :  1+k+1 ≤ 2k+1  ⇔  (1+k) +1 ≤ 2k *2    ⇔    1 ≤  2   ✓

 

Und wie mach ich jetzt weiter um die geforderte Aufgabe zu lösen?

von

1 Antwort

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Hallo,

nach Voraussetzung und dem Hinweis gilt$$\large2^n<\prod_{i=1}^m\left(1+a_i\right)\leq\prod_{i=1}^m2^{a_i}=2^{\sum\limits_{i=1}^m}\Leftrightarrow n<\sum_{i=1}^ma_i.$$
von

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