Die Wendetangente an den Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades im Punkt P(0|1) besitzt die Steigung m=-24. Hoch- und Tiefpunkt der Funktion liegen jeweils zwei Einheiten von der y-Achse entfernt.
Der Hochpunkt liegt wegen der negativen Steigung der Wendetangente links von der y-Achse. Vorerst lege ich den Hochpunkt auf die x-Achse.Der Graph hat im Extremum eine zweifache Nullstelle. Ein Sattelpunkt hat auch wie ein Extremum eine waagerechte Tangente . Hier kann es nicht sein, weil noch ein Tiefpunkt vorhanden ist. Das klappt dann nicht mit 3. Grad.
Linearfaktorenform:
\( f(x)=a(x+2)^2(x-N) \) T(2|...) 1. Ableitung:
\( f'(x)=a[2(x+2)(x-N)+(x+2)^2] \)
\( f'(2)=a[2(2+2)(2-N)+(2+2)^2] \)
\( f'(2)=a[32-8N ] =0 \)
\( N=4\)
\( f(x)=a(x+2)^2(x-4) \)
..Im Punkt P(0|..) besitzt der Graph die Steigung m=-24.
\( f'(x)=a[2(x+2)(x-4)+(x+2)^2] \)
\( f'(0)=a[2(0+2)(0-4)+(0+2)^2]=a[ -12]=-24\)
\(a=2\)
\( f(x)=2(x+2)^2(x-4) \)
schauen ob P(0|1) schon auf dem Graph von f liegt.
\( f(0)=2(0+2)^2(0-4)=-32 \)
Somit muss er um 33 Einheiten nach oben verschoben werden:
\( p(x)=2(x+2)^2(x-4) +33\)
