Begründen Sie ihre Antwort

Question

Aufgabe:

Sei G = (V, E) ein d-dimensionaler Hyperwürfel.
a) Welchen Grad haben die Knoten des Hyperwürfels?
b) Wie viele Kanten hat der Hyperwürfel? Begründen Sie ihre Antwort (mithilfe Ihrer Lösung aus Teilaufgabe a)).
c) Für welche Dimensionen d ist der Hyperwürfel eulersch? Begründen Sie Ihre Antwort (mithilfe Ihrer Lösung aus Teilaufgabe a)).

Problem/Ansatz

Ich habe leider keinen Ansatz wie die Frage gelöst wird .. für Hilfe wäre ich dankbar

Answer 1

Zu a) Ein zweidimensionaler Hyperwürfel ist ein Quadrat. Er besteht aus den Punkten

        (0,0), (0,1), (1,1) und (1,0).

Kanten sind (0,0)-(0,1), (0,1)-(1,1), (1,1)-(1,0) und (1,0)-(0,0).

Ein dreidimensionaler Hyperwürfel kann aus einem zweidimensionalen Hyperwürfel konstruiert werden, indem man zunächst die Punkte und Kanten in den dreidimensionalen Raum einbettet. Dadurch hat man die Punkte

        (0,0,0), (0,1,0), (1,1,0) und (1,0,0).

und entsprechende Kanten. Anschließend verscheibt man die Punkte um 1 in Richtung der neuen Koordinatenachse. Man bekommt also zusätzlich die Punkte

        (0,0,1), (0,1,1), (1,1,1) und (1,0,1).

Jetzt verbindet man jeden eingebetteten Punkt mit dem entsprechenden Bildpunkt nach der Verschiebung. Es kommen also die Kanten

        (0,0,0)-(0,0,1),
        (0,1,0)-(0,1,1),
        (1,1,0)-(1,1,1) und
        (1,0,0)-(1,0,1)

hinzu.

Auf die gleiche Weise konstruiert man aus einem n-dimensionalen Hyperwürfel einen (n+1)-dimensionalen Hyperwürfel.

Zu b) Es gibt eine Formel dafür, wie man aus den Graden aller Ecken die Anzahl der Kanten berechnet.

Zu c) Es gibt einen Satz, der einen Zusammenhang zwischen den Graden der Ecken und der Existenz von Eulerkreisen herstellt.