Minimalpolynom und charakteristische Polynom

Question

Aufgabe:

Ich hab folgendes charakteristische Polynom gegeben:

f(x)= x^4-4x^2-5

Ich habe jetzt schon die Nullstellen berechnet und erhalte

x= wurzel 5

x=-wurzel 5

x=-i

x=i

Problem/Ansatz:

Jetzt muss ich das Minimalpolynom bestimmen. Meine Frage daher ist hier das Minimalpolynom einfach identisch zum charakteristischen Polynom?

Und wie sieht es im Körper R aus, weil da habe ich ja nur die ersten beiden Nullstellen

Answer 1

Das Polynom zerfällt über \( \mathbb{R} \) in \( (x - \sqrt{5})(x+\sqrt{5})(x^2+1) \)

Da diese Polynome alle über \( \mathbb{R} \) irreduzibel sind, ist das auch schon das Minimalplynom.