Wie berechnet man das Integral von ∫ 1/√(x·(2-x))

Question

Aufgabe:

$$ \int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{x\cdot(2-x)}} \ \ dx $$

Problem/Ansatz:

Wie würde man das Integral lösen?

Bzw. was genau muss ich da substituieren?

Aus der Lösung von Integralrechner.de werde ich nicht schlau.

Answer 1

Es erinnert doch etwas an die Ableitung von arcsin;

denn arcsin ' (x) = 1 / √( 1-x^2)

und bei deinem Integranden steht in der Wurzel x(2-x) = 2x - x^2

und das ist doch  1 - ( x-1) ^2 denn

1 - ( x-1) ^2 = 1 - ( x^2 - 2x + 1 ) = -x^2 + 2x = 2x - x^2 .

Also substituierst du z = x-1 .