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Aufgabe: Fixpunkt


Problem/Ansatz:

… Könnte einer mir den Fixpunkt mit einem Beispiel ausführlich erklären

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Meinst du den Fixpunktsatz von Banach ?

Der gilt für Kontraktionen, also Abbildungen f von einer nicht-leeren

abgeschlossenen Menge M auf sich .für die gilt:

Für alle x,y ∈ M gilt  | f(x) - f(y) | ≤ k * | x-y |  mit  0 ≤ k < 1 .

Banales Beispiel wäre

f : [-2;2] → [-2;2]  mit  f(x) = 0,5x ; denn dann gilt für alle x,y  ∈  [-2;2]

| f(x) - f(y) | =  | 0,5x - 0,5y | =   | 0,5(x - y) | =  | 0,5| * | (x - y) |

                   = 0,5 * | (x - y) | ≤ 0,5 * | (x - y) |

Also Kontraktion mit k=0,5 .

Dann gibt es einen Fixpunkt in [-2;2], also ein x mit f(x)=x

und den bekommst du durch Iteration. Also beginnst mit einem

xo ∈  [-2;2] ( z.B. xo=1 ) und bildest  x1 = f(xo) = f(1) = 0,5

Dann x2 = f(x1)= 0,5*0,5 = 0,25

Dann x3 = 0,5*0,25 = 0,125    etc.

Die Folge der xi geht gegen den Fixpunkt  , hier die 0 .

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Das meinte ich genau. Vielen Dank für ihre Mühe

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