Berechnen Sie x^{(1)} zum Startwert x^{(0)}=0 .

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Fixpunktiteration
\( x^{(k+1)}=\varphi\left(x^{(k)}\right), \quad \varphi:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty), \varphi(x)=\cos (\sqrt{x}) . \)
Berechnen Sie \( x^{(1)} \) zum Startwert \( x^{(0)}=0 \). Schätzen Sie die Kontraktionskonstante in der Form \( \max _{x \in[0, \infty)}\left|\varphi^{\prime}(x)\right| \leq q \) ab und geben Sie eine a-priori-Schranke \( k \in \mathbb{N} \) an, so dass
\( \left|x^{(k)}-\hat{x}\right| \leq \frac{q^{k}}{1-q}\left|x^{(1)}-x^{(0)}\right| \leq \varepsilon=2^{-20} \)
gilt, wobei \( \hat{x} \) der Fixpunkt ist. Tipp: Es gilt \( \sin (y) \leq y \) für \( y \geq 0 \).

Problem/Ansatz:

Also x⁽¹⁾ sollte ja x⁽¹⁾=cos(sqrt(0))=1 sein. Aber wie genau kann ich nun die Schranke k bestimmen?

Also \( \max _{x \in[0, \infty)}\left|\varphi^{\prime}(x)\right| \leq q \) müsste ja eigentlich nur <= 1/2 sein, weil die Ableitung ja -sin(sqrt(x))/(2sqrt(x)) ist und das kann ich ja abschätzen zu kleiner 1/2 und somit wäre q = 1/2. Dann wissen wir ja auch nach dem BFS dass die Fixpunktiteration eindeutig gegen den Fixpunkt konvergiert. Aber wie muss ich weiter machen um auf k zu kommen?

Danke für eure Hilfe :)

Answer 1

Hallo

du hast ja ein q gefunden, setze es ein und |x0-x1|=1 und bestimme daraus k

Gruß lul