Konvergenzbestimmung der Reihe

Question

Aufgabe:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n}, \quad \operatorname{mit} a_{n}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2}{n}, & n \text { ungerad} \\ -\frac{1}{n-1}, & n \text { gerade }\end{array}\right. \)

Problem/Ansatz:

worauf achten wir ,um die Konvergenz der Reihe zu untersuchen ,wenn wir sozusagen 2 verschiedene Funktionen haben.

Sollten die beiden Rationalfunktionen eine Gleicheit bilden ?

Answer 1

Die Reihe ist jedenfalls alternierend und da könnte man es mit

dem Leibnizkriterium versuchen, also schauen, ob die

Folge der Beträge der Summanden streng monoton ist.

Wenn man sich die ersten aufschreibt

2; 1 ; 2/3 ; 1/3 ; 2/5 ; 1/5 sieht man:

Sie ist es nicht.

Geht vielleicht was mit Majorantenkriterium ?

Es ist ja bekannt, dass die Reihe mit 2/n nicht

konvergiert ( Vergleich mit harmonischer Reihe.)

Wenn man immer zwei Summanden zusammenfasst

hat man ja (angefangen mit einem geraden n)

2/n - 1/((n+1)-1)  = 1/n

Somit hat man mit den Summanden  0,5/n eine divergente

Minorante. die Reihe konvergiert also nicht.

Comments

Somit hat man mit den Summanden  0,5/n eine divergente Minorante

So einfach ist das nicht.