Zeigen Sie also, dass für zwei

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die folgende Produktregel für die höheren Ableitungen. Zeigen Sie also, dass für zwei
Funktionen f, g : X → R mit X ⊂ R gilt, dass die n-te Ableitung der Produktfunktion von f und g zu berechnen ist mittels

(f · g)^[n](x) = \( \sum\limits_{k=0}^{n} \) \( \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \) f^[n−k](x)g^[k](x).

Problem/Ansatz:

Wir sollen mittels Vollständiger Induktion die folgende Produkregel höhere Ableitungen beweisen.

Ich habe Schwierigkeiten hier eine Vollständige Induktion anzuwenden, der erste Schritt wäre N = 0/N = 1, im zweiten n+1 richtig?

Answer 1

Schreib doch erstmal den Induktionsanfang formal richtig hin. Was ist die nullte Ableitung von dem Produkt? Und dann schreib mal den Induktionsschluss richtig hin, also das was Du beweisen musst. Dann sehen wir weiter.

Comments

Mit der nullten Ableitung von dem Produkt meinst du die linke Seite der Gleichung? D.h.

(f · g)^[0](x) = 1(x)

oder?

Induktionsanfang: Für n=0:

(f · g)^[0](x) = ∑k=0 (00) f^[0−0](x)g^[0](x).

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Die nullte Ableitung einer Funktion ist die Funktion selber. \( f^{(0)}(x) = f(x) \). damit mach mal den Induktionsanfang.

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Text erkannt:

Indulstionsanfane: Für \( n=0 \)
$$ (f \cdot g)^{[n]}(x) \sum \limits_{k=0}^{n}\left(\frac{n}{k}\right) f(x)=-4 \mid(x) \varepsilon^{n-1}(x) $$
\( F \operatorname{tar} n=0 \)
stimmt
Indulctionsbehauptune: Fiar \( n \rightarrow n \)
$$ (f \cdot g)\left[m \mid(x)=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\frac{n}{k}\right) f(x)-k\right](x)=R^{2}(x) $$
Induletionsschritt: \( \operatorname{Far} n \rightarrow n+1 \)
$$ (f \cdot g)[m+1](x)=\sum \limits_{k=0}^{n+1}\left(\frac{n+1}{n}\right) f(n+1|-2||x|=|x||x| $$

Folglich der Induktionsschritt, stimmt dieser?

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Beim Induktionsanfang muss es heissen:

Zu zeigen ist $$ (f \cdot g)^{(0)}(x) = \sum_{k=0}^0 \binom{0}{k} f^{(0-k)}(x) \cdot g^{(k)}(x)  $$ Und weil $$  \sum_{k=0}^0 \binom{0}{k} f^{(0-k)}(x) \cdot g^{(k)}(x) = f^{(0)}(x) \cdot g^{(0)}(x) $$ gilt, ist der Induktionsanfang richtig.

Was Du als Induktionsschritt hingesschrieben hast, musst Du jetzt beweisen, unter Benutzung der Induktionsvoraussetzung. Also in etwa so

$$ (f \cdot g)^{(n+1)}(x) = \frac{d}{dx} \left[ (f \cdot g)^{(n)}(x) \right]  = \\ \frac{d}{dx} \left[  \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)}(x) \cdot g^{(k)}(x) \right] = \\ \sum_{k=0}^n \left[  \binom{n}{k} f^{(n+1- k)}(x) \cdot g^{(k)}(x) + f^{(n- k)}(x) \cdot g^{(k+1)}(x) \right] $$ und die rechte Seite muss $$   \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} f^{(n+1-k)}(x) \cdot g^{(k)}(x)  $$ ergeben. Das ist zu beweisen.