Bestimmen Sie MBB(f).

Question

Aufgabe:

Sei B = (b1,b2,b3,b4) eine Basis des R4 und f: R4 → R4 die lineare
Abbildung mit
f(b1)=b4, f(b2)=b1 +2b2, f(b3)=2b1 +b2 +b3, f(b4)=2b2 −b3.

(a) Bestimmen Sie MBB(f).
(b) Zeigen Sie, dass f ein Isomorphismus ist und bestimmen Sie MBB(f−1).

Problem/Ansatz:

ich bin mit der linearen Abbildung überfordert. Ich weiß wie man MBB(f) berechnet, aber nicht so.

Answer 1

M_B,B(f) : In der k-ten Spalte der Matrix stehen die Koeffizienten, mit denen

man f(b_k) durch die Basis B darstellen kann. 1. Spalte also wegen

f(b₁) =   0*b1 + 0*b2 + 0*b3 + 1*b4 gibt es

0
0
0
1

Entsprechend die anderen also ist die Matrix

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2& 0\\ 0 & 2 & 1& 2\\0 & 0 & 1& -3\\1 & 0 & 0& 0 \end{pmatrix}$$

Für b) reicht zu zeigen: det(M)=-7 ≠0. Also ein Isomorphismus.

Die Matrix besitzt eine Inverse. Diese bestimmst du und hast

$$\frac{1}{7}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0& 7\\ -5 & 6 & 4& 0\\6 & -3 & -2& 0\\2 & -1 & -3& 0 \end{pmatrix}$$