Basen von Darstellungsmatrix

Question

Aufgabe:

Es seien V, W endlich-dimensionale K-Vektorräume mit V = V1 ⊕ V2 und W = W1 ⊕ W2
sowie F : V −→ W eine lineare Abbildung mit F(Vi) ⊂ Wi für i = 1, 2. Zeigen Sie, dass es
Basen B von V und B′ von W gibt, sodass die Darstellungsmatrix MBB′ von F die Form
MBB′ =

A 0
0 A′

hat, wobei A ∈ M(dimK(W1) × dimK(V1), K) und A′ ∈ M(dimK(W2) × dimK(V2), K).

Problem/Ansatz:

Ich weiss, dass ich folgenden Satz benutzen soll: dimK(V1) + dimK(V2) = dimK(V). Stecke aber dann fest. Wäre um jede schnelle Hilfe dankbar.

Answer 1

Seien B_i Basen von Vi und B'_i Basen von W_i, dann ist \(B_1 \cup B_2\) eine Basis von V, anlog für W. Wegen \( F(V_i) \subset W_i \) kann man F(B_i) durch B'_i darstellen, dann hat die Darstellungsmatrix die gewünschte Form.