Aufgabe:
\(\bar{\mathbb{D}}\) sei die offene Einheitskreisscheibe
(a) Es sei f : \(\bar{\mathbb{D}}\in\mathbb{C}\) stetig und in \(\mathbb{D}\) holomorph, und es gelte |f(z)|≤|z| für alle \(z\in\{0\}\cup\partial\mathbb{D}\).
Zeigen Sie, dass dann |f(z)|≤|z| sogar für alle \(z\in\bar{\mathbb{D}}\) gilt.
(b) Es sei f holomorph in \(\mathbb{D}\) mit |f(z)|≤1 fur alle \(z\in\mathbb{D}\) und f(0)=0. Beweisen Sie
|f(z) + f(-z)| ≤2|z|2 fur alle \(z\in\mathbb{D}\):
Problem/Ansatz:
a) Das Lemma von Schwarz besagt ja, dass in diesem Fall (f holomoprh auf der offenen Einheitskreisscheibe, |f(0|≤0, also f(0)=0) gilt:
\(|f(z)|\leq|z| \forall z\in\mathbb{D}\), es folgt also, dass |f(z)|≤|z| ∀\(z\in\bar{\mathbb{D}}\).
b) Auch hier kann man wieder das lemma von Schwarz anwenden, also gilt sicherlich
|f(z)+f(-z)|≤|z|+|-z|=2|z|
Aber wie komme ich von dort auf |f(z)+f(-z)|≤2|z|2?
