Aufgabe:
Bestimmen Sie eine Lösung des Randwertproblems (DGL)
\( -u^{\prime \prime}+u=e^{-|x|} \) mit \( \lim \limits_{x \rightarrow \pm \infty} u(x)=0 \)
Problem/Ansatz:
In der Lösung steht folgendes:
\( P(\lambda)=-\lambda^{2}+1 \) folgt \( P(iw) = w^{2}û+û \)
statt -(λ)^2 wird -(iw)^2 benutzt und das ist +w. EDIT: Das kann man wohl laut einem Satz machen.
und aus \( P(iw) =e^{-|x|} \) folgt \( \frac{2}{i+w^{2}} \)
EDIT: Das folgt aus einer speziellen Definition von Fourier. Wir berechnen also Cn mit 1/T =1 statt \(\frac{1}{2\pi}\)
Und zusammengefasst erhält man:
\( û=2 \cdot \frac{1}{\left(1+w^{2}\right)} \frac{1}{\left(1+w^{2}\right)} \)
Daraus wird dann die Faltung berechnet mit f(x-y) und g(y).
\( u(x)=(2 f * f)(x)=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x-y|} e^{-|y|} d y \)
woher kommt das 1/2 davor?
wie kommt man auf e^(-x) als Laplace-Rücktransformation? sollte das nicht sin sein?
Ab hier ist nur noch ganz normal ausrechnen.
Gruß
