Polynome auf lineare Unabhängigkeit prüfen

Question

Aufgabe:

Prüfen Sie, ob die folgenden Systeme von R auf R definierten Funktionen R-linear unabhängig sind.

(ii) x²,(x+1)²,(x+2)²

Problem/Ansatz:

Leider verstehe ich nicht ganz wie ich dabei vorgehen soll.

Habe überlegt folgende Gleichung aufzustellt:

ax²+b(x²+2x+1)+c(x²*4x+4)=0

Habe dann die ersten x eingesetzt:

(1) x=0 : b+4c=0

(2) x=1 : a+4b+9c=0

Habe dann differenziert und dann x=0 eingetzt und es kommt 2b=0 raus.

Weiß jetzt leider nicht wie ich weiter machen soll.

Answer 1

ax^2+b(x^2+2x+1)+c(x^2+4x+4)=0  (also 0-Polynom)

ist ein guter Ansatz.

<=>  (a+b+c)*x^2 + (2b+4c)*x + ( b + 4c) = 0-Polynom.

Da das 0-Polynom alle Koeffizienten 0 hat :

a+b+c=0  und 2b+4c=0  und b+4c=0 .

Löse dieses lin. Gleichungssystem und erkenne:

Einzige Lösung ist a=b=c=0, also sind

die Polynome lin. unabh.

Comments

Ahh, danke.

Habe es damit geschafft.