Mehrere Funktionen auf lineare Unabhängigkeit prüfen

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie, ob die Vektoren linear unabhängig sind:

p1(z) = 1, p2(z) = z, p3(z) = 2z^2 −1, p4(z) = 4z^3 −3z in C[z]

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie man hier vorgehen soll. Den Nullvektor erhält man wenn man die Funktionen mit 0 multipliziert, aber wie beweise ich, dass es auch mit anderen Zahlen funktioniert?

Answer 1

Die angegebenen Polynomfunktionen liegen in dem Unterraum \(U\) von \(C[X]\),

der von den Polynomfunktionen \(1,z,z^2,z^3\) aufgespannt wird. Diese Monome

sind bekanntermaßen linear unabhängig (bitte Bescheid sagen,

wenn das noch begründet werden soll).

Die Koordinatenvektoren von \(p_1,\cdots,p_4\) bzgl. der Monombasis von \(U\)

sind \((1,0,0,0),(0,1,0,0),(-1,0,2,0),(0,-3,0,4)\), als Zeilenvektoren geschrieben.

Die Matrix, deren Zeilen diese sind, ist eine Dreiecksmatrix mit Determinante \(8\neq 0\).

Damit bilden die gegebenen Polynomfunktionen eine Basis von \(U\),

sind also linear unabhängig.

Comments

Vielen Dank für die Antwort.

Könntest Du womöglich begründen, weswegen diese Monome linear unabhängig sind?

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Wenn die Monome \(1,z,z^2,z^3\) linear abhängig wären, dann gäbe

es komplexe Zahlen \(a_0,a_1,a_2,a_3\), nicht sämtlich \(=0\), so dass

\(a_3z^3+a_2z^2+a_1z +a_0\) die Nullfunktion wäre, dann hätte aber

das Polynom \(a_3X^3+a_2X^2+a_1X+a_0\) unendlich viele Nullstellen,

nämlich ganz \(\mathbb{C}\). Ein Polynom \(\neq 0\) über einem Körper hat

aber maximal so viele Nullstellen, wie sein Grad beträgt.

Answer 2

Linearkombination für den 0-Vektor bilden

a*1+b*z+c*(2z^2-1)+d*(4z^3-3z)=0

Daraus a=b=c=d=0 schließen, dann sind sie lin. unabh.

Answer 3

yooooo danke, dass du die Frage gestellt hast haha. TU Berlin-Gang

Comments

Ayeee, TU Berlin-Gang!