Hallo Ümit,
es ist eine positive Zahl \(k\) gegeben. Z.B. \(k=3\), \(k=0,8\) oder \(k=1,2\). Dann gibt es eine Funktion \(f_k\) von \(x\)$$f_k(x) = x^{-k} = \frac 1{x^k}, \quad x \gt 0$$und da betrachten wir zunächst mal die Graphen
~plot~ 1/x^(3);1/x^(0.8);1/x^(1.2);;[[-1|8|-1|6]];x=1 ~plot~
der blaue Graph gehört zu \(k=3\), der rote zu \(k=0,8\) und der grüne zu \(k=1,2\). Alle Kurven haben einen Pol bei \(x=0\) und nähern sich mit wachsendem \(x\) an der X-Achse an. Auch gehen alle Kurven durch den Punkt \((1;\,1)\).
Die Fläche \(F_1\) rechts der gelben Senkrechten (\(x=1\)), die vom jeweiligen Graphen und der X-Achse eingeschlossen ist, ist die unbegrenzte Fläche von \(1\) bis \(\infty\). 'Unbegrenzt' weil eben \(x\) nach rechts hin nicht begrenzt ist. Die Fläche \(F_1\) lässt sich über das Integral berechnen:$$\begin{aligned} F_1 &= \int_1^{\infty} {x^{-k}}\, \text dx \\&= \left. \frac {1}{-k+1} x^{-k+1}\right|_1^{\infty} && k \ne 1 \\&= \lim_{x \to \infty} \frac {-1}{k-1} x^{-k+1}+ \frac 1{k-1} \end{aligned}$$Ist \(k \gt 1\), so geht der Limes gegen \(0\) und \(F_1\) ist$$F_1 = \frac 1{k-1}, \quad k \gt 1$$ Ist \(k \lt 1\) so konvergiert der Limes nicht und \(F_1\) ist unendlich groß.
Für \(k=1\) muss man das Integral noch mal gesondert betrachten$$\begin{aligned} F_1 &= \int_{1}^{\infty} x^{-1}\, \text dx \\&= \left. \ln(x) \right|_1^{\infty} \\&= \lim_{x \to \infty} \ln(x) \to \infty\end{aligned}$$Nun mache das gleiche für $$F_2 = \int_0^1 x^{-k} \, \text dx$$
