Lösen Sie das Anfangswertproblem der DGL

Question

Aufgabe:

Lösen Sie das Anfangswertproblem
y´=(y^2+1)/(x^2-1)    mit y(0)=1/√3
Besitzt die Lösung eine Extremstelle?

Problem/Ansatz:

Als Lösung für die DGL habe ich folgendes:

y(x)=tan(1/2*(ln(x-1)-ln(x+1)+c))

Mit der Lösung für das AWP komme ich nicht weiter, ich hoffe Sie können mir helfen

Answer 1

Aloha :)

$$\left.y'=\frac{y^2+1}{x^2-1}\quad\right|\;:(y^2+1)$$$$\left.\frac{\frac{dy}{dx}}{y^2+1}=\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1/2}{x-1}-\frac{1/2}{x+1}\quad\right|\;\cdot dx$$$$\left.\frac{dy}{y^2+1}=\frac{dx}{2(x-1)}-\frac{dx}{2(x+1)}\quad\right|\;\text{integrieren}$$$$\left.\arctan y=\frac{1}{2}\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln|x+1|+c\quad\right.$$Die Integrationskonstante folgt aus der Anfangsbedingung \(y(0)=\frac{1}{\sqrt3}\):$$\arctan\frac{1}{\sqrt3}=\arctan y(0)=0-0+c\quad\Rightarrow\quad c=\arctan\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\pi}{6}$$Wir setzen das ein und vereinfachen weiter:$$\left.\arctan y=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+\frac{\pi}{6}\quad\right|\;\tan(\cdots)$$$$\left.y=\tan\left(\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+\frac{\pi}{6}\right)\right.$$

Answer 2

Hallo

 du hast arctan(1/√3)=1/2*ln(1+c) oder exp(2*arctan(1/√3))=1+c

(es lohnt sich oft, die Anfangsbed. einzusetzen bevor man nach y auflöst)

 Gruß lul

Comments

Danke für deine schnelle Antwort, verstehe sie aber nicht.

Wenn ich vorher einsetze hätte ich doch folgendes:

arctan(1/√3)=1/2*(ln(0-1)-ln(0+1)+c)

Da ln(-1) Math.Fehler komme ich auf keine Lsg.

Mfg

Answer 3

Hallo,

Setze die AWB in die Lösung ein:

für x =0 und y=1/√3

y=tan(-1/2ln|x+1| +1/2 ln|x-1|+C)

ich habe für C erhalten :π/6

Jetzt hast Du eine Lösung, die Du 1 Mal ableitest und das Extremum bestimmen kannst