Untersuche die angegebene Reihe auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert

Question

Aufgabe:

Untersuche die gegebenen Folgen (a_n)_n∈ℕ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert. Andernfalls finde alle Häufungspunkte oder entscheide, ob (a_n) einen uneigentlichen Grenzwert besitzt.

a) a_n =  \( \frac{exp(in)}{n} \) - exp(\( \frac{-in}{n^2+1} \) )

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht exp(\( \frac{-in}{n^2+1} \) ) mit n zu erweitern, damit ich alles auf einen großen Bruch schreiben kann. Danach komme ich nicht mehr weiter. Ich weiß nicht was ich mit dem exp anstellen soll.

Answer 1

Hallo Jessi,

für reelle Zahlen x gilt

|exp(i*x)| =1

Der Bruch \( \frac{\exp (in)}{n} \) hat also einen beschränkten Zähler und einen bestimmt divergenten Nenner und konvergiert deshalb gegen 0.

Da die Exponentialfunktion stetig ist gilt

$$\begin{aligned} \lim \exp\left(\frac{-in}{n^2+1}\right) &= \exp\left( \lim \frac{-in}{n^2+1}\right)\\&= \exp\left( \lim \frac{-i}{n+\frac{1}{n}}\right) \\&= \exp(0) = 1 \end{aligned} $$

Gesamt also 0-1=-1

Answer 2

Vielleicht hilft das schon:

exp(−in/(n^2+1) ) = exp(−in)  - exp(n^2+1)

= exp(−i) + exp(n)  - exp(n^2+1)

zusammen also

exp(in) / n - (  exp(−i) + exp(n)  - exp(n^2+1) )

= ( exp(i) + exp(n) ) / n - (  exp(−i) + exp(n)  - exp(n^2+1) )

=  ( exp(i) + exp(n)  - n* exp(−i) - n* exp(n)  + n* exp(n^2+1) )  / n

Comments

exp(−in/(n^{2}+1) ) = exp(−in)  - exp(n^{2}+1) 

Das hab ich glaub ich anders gelernt