Ermitteln Konvergenz/Grenzwert einer Folge DURCH gegebenen Grenzwert einer anderen Folge

Question

gesucht:

Konvergenz und Grenzwert (vor allem von a_n und b_n, da Grenzwert c_n schon gegeben und 5 beträgt)

gegeben:

(a_n)_n∈ℕ mit a_n = c_2n - 1

(b_n)_n∈ℕ mit b_n = c_2n

(c_n)_n∈ℕ mit lim(n→∞) c_n = 5

Answer 1

Deine Folge \(c_n\) ist nach Voraussetzung konvergent, bzw. besitzt also genau einen Häufungspunkt. Also besitzt jede Teilfolge \(c_{n_k}\) von \(c_n\) denselben Häufungspunkt, insbesondere dann auch \(c_{2n}\). Damit kannst du auch die Grenzwerte von \(a_n\) und \(b_n\) folgern.

Comments

Vielen Dank!

D.h. und  besitzen auch denselben Grenzwert wie ?

Oder kann man diesen nicht berechnen, sondern nur aus der Konvergenz folgern, dass sie eben einen besitzen?

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Oder kann man diesen nicht berechnen, sondern nur aus der Konvergenz folgern, dass sie eben einen besitzen?

Lies bitte genau, was ich geschrieben habe. Du hast hier bei \(c_n\) einen Grenzwert explizit gegeben. Ich habe es in meiner obigen Antwort etwas allgemeiner formuliert.

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Mit berechnen meinte ich, ob an und bn ebenfalls denselben Grenzwert von 5 besitzen oder kann man bei hier lediglich schlussfolgern, dass sie (aufgrund von Konvergenz von cn) ebenfalls konvergieren?

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Deine Folge \(c_n\) ist doch konvergent (gegen 5), d.h., jede Teilfolge \(c_{n_k}\) von \(c_n\) konvergiert gegen 5. Anders formuliert sieht das so aus:

\(\lim\limits_{n\to \infty} c_n=\lim\limits_{k\to \infty} c_{n_k}=5=\lim\limits_{n\to \infty} c_{2n}\).

Betrachte also damit:

\(\lim\limits_{n\to \infty} a_n= \lim\limits_{n\to \infty} c_{2n}-1=...\)

\(\lim\limits_{n\to \infty} b_n= \lim\limits_{n\to \infty} c_{2n}=...\)