Zeigen, dass eine Reihe für alle x ∈ R absolut konvergiert

Question

Zeigen Sie, dass die Reihe

\( C(x):=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} x^{2 n} \)

für alle x ∈ R absolut konvergiert. Zeigen

Sie weiter, dass die Funktion C : R → R

die Funktionsgleichung 2C(x)² = C(2x) + 1 erfüllt.

Answer 1

1) Die Reihe konvergiert nach dem Quotientenkriterium für alle x aus IR absolut.

sei a_n=(-1)^n/(2n)! dann ist der Konvergenzradius r := limsup |a_n/ a_{n+1} | --> Unendlich für n gegen Unendlich.

Somit absolute Konvergenz für alle x aus IR mit |x|< Unendlich. Also ganz IR.

2) Diese Reihe konvergiert gegen Cos(x) und es gilt Cos(2x)=0.5 (Cos^2(x)-1)

Alternativ und ich denke, dass dies die eigentliche Aufgabe ist: Man koennte zeigen, dassbei  2 mal Cauchy Produkt von C(x) mit sich selbst  minus C(2x) nur die Nullte Potenz ueberlebt, d.h. x^0. Der Dazu gehoerige Koeffizient ist dann 1. Muss auch gezeigt werden.


Das ist die Lösungsstrategie dieser Aufgabe.

Comments

Ist das erste also falsch wenn ich das so hinschreiben würde?

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Wow Danke dir sehr  für deine Mühe. :) 

 

Zu der aufgabe stand noch eine kleine. Glaubst du, du kriegst die auch hin? 

für alle x ∈ R absolut konvergiert. Zeigen

Sie weiter, dass die Funktion C : R → R

die Funktionsgleichung 2C(x)2 = C(2x) + 1 erfüllt