Zeigen Sie, dass die Reihe konvergiert

Question

Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe:

 

Es sei die Folge (ak) k≥0 gegeben durch:

              1, für k=3n, n∈ℕ0

ak:=      2, für k=3n+1, n∈ℕ0

              3, für k=3n+2, n∈ℕ0

Zeigen sie, dass die Reihe ∑ k=0 bis ∞  ( a_k/ 2^k5^k) konvergiert und zeigen sie, dass ihr Wert durch die rationale Zahl

( 2*5*41)/(3²*37) gegeben ist.

 

Ich weiß nicht wirklich wie ich hier vorgehen soll.

Dankeschön :)

Comments

∑3*10^k ist eine konvergente Majorante.

Für die Berechnung des Reihenwertes zerlege die Reihe in die naheliegenden drei Teilreihen. Deren Wert lässt sich mit geometrischer Summe berechnen.

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wie kommst du denn  aus ∑ 3* 10^k

ddie 10^k  kommt vom 2^k * 5^k , aber die 3?

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Es ist |a_k| ≤ 3.

Du kannst auch jede andere Zahl größer 3 nehmen.

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Ich habe ebenfalls Probleme bei dieser Aufgabe. Der Tipp von Anonym hilft mir da auch nicht wirklich weiter. Wie zerlege ich die Reihe denn in drei Teile,und wie wende ich dann die geometrische Summenformel an?  Stehe bei der Aufgabe total auf dem Schlauch :(

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Die Definition von a_k ist dreigeteilt.

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Muss ich dann für die Zerlegung das jeweilige  k in die Formel einsetzen?
Also  3*10^3n =1 , 3*10^3n+1 =2 , 3*10^3n+2=3 ? Ich hab leider aus gesundheitlichen gründen die letzten Vorlesungen verpasst und hänge da jetzt.

Answer 1

Wie in den Kommentaren bereits geschrieben wurde kann man die Summe, da sie konvergent ist, als Summe dreier konvergenter Teilsummen schreiben. Mit der geometrischen Summenformel ergibt sich:

$$\begin{aligned} \sum_{k=0}^\infty  \frac{a_k}{2^k5^k}&= \sum_{n=0}^\infty  \frac{1}{2^{3n}5^{3n}} + \sum_{n=0}^\infty  \frac{2}{2^{3n+1}5^{3n+1}}+\sum_{n=0}^\infty  \frac{3}{2^{3n+2}5^{3n+2}}\newline &=\sum_{n=0}^\infty  \frac{1}{2^{3n}5^{3n}} + \frac{2}{10}\sum_{n=0}^\infty  \frac{1}{2^{3n}5^{3n}}+\frac{3}{100}\sum_{n=0}^\infty  \frac{1}{2^{3n}5^{3n}}\newline &=1.23 \cdot \sum_{n=0}^\infty  \frac{1}{2^{3n}5^{3n}} =1.23 \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{1000}}\newline &=1.23 \cdot \frac{1000}{999} \end{aligned}$$