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Berechnen Sie  das Integral mit Hilfe des Satzes von Gauß :

                                        \( \iint_{\partial S} \vec{v}  d 0 \)

mit

                   \( \vec{v}(x, y, z)=\left(\begin{array}{c}x^{3} \\ y^{2} \\ 0\end{array}\right) \)

wobei S die Oberfläche des Halbellipsoids ist

               \( \left(\frac{x}{8}\right)^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}+\left(\frac{z}{3}\right)^{2} \leq 1, \quad z \geq 0 \)

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Aloha :)

Wir parametrisieren zunächst den Ellipsoid mit Kugelkoordinaten:$$\vec r=\begin{pmatrix}ar\cos\varphi\sin\vartheta\\br\sin\varphi\sin\vartheta\\cr\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;1]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;\vartheta\in[0;\pi/2]$$Beachte, dass wegen \(z\ge0\) das Intervall für den Winkel \(\vartheta\) entsprechend eingeschränkt ist. Das Volumenelement für den Ellispoid ist, wegen der Skalierung der Dimensionen um den Faktor \(abc\), gegenüber dem der Kugel verzerrt:$$dV=abc\,r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$

Das gesuchte Integral ist damit:

$$\Phi=\oint\limits_{S}\vec v\,d\vec f=\int\limits_{V(S)}\operatorname{div}\vec v\,dV=\int\limits_{V(S)}\left(3x^2+2y\right)dV$$$$\phantom{\Phi}=\int\limits_0^1dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{\pi/2}d\vartheta\left(3(ar\cos\varphi\sin\vartheta)^2+2\cdot(br\sin\varphi\sin\vartheta)\right)\,abc\,r^2\sin\vartheta$$$$\phantom{\Phi}=abc\int\limits_0^1dr\,r^2\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{\pi/2}d\vartheta\left(3a^2r^2\cos^2\varphi\sin^2\vartheta+2br\sin\varphi\sin\vartheta\right)\sin\vartheta$$$$\phantom{\Phi}=abc\int\limits_0^1dr\,r^2\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\left(3a^2r^2\cos^2\varphi\underbrace{\int\limits_0^{\pi/2}d\vartheta\,\sin^3\vartheta}_{=2/3}+2br\sin\varphi\underbrace{\int\limits_0^{\pi/2}d\vartheta\,\sin^2\vartheta}_{=\pi/4}\right)$$$$\phantom{\Phi}=abc\int\limits_0^1dr\,r^2\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\left(2a^2r^2\cos^2\varphi+\frac{\pi}{2}br\sin\varphi\right)$$$$\phantom{\Phi}=abc\int\limits_0^1dr\,r^2\left(2a^2r^2\underbrace{\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\,\cos^2\varphi}_{=\pi}+\frac{\pi}{2}br\underbrace{\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\;\sin\varphi}_{=0}\right)$$$$\phantom{\Phi}=abc\int\limits_0^1dr\,r^2\left(2\pi\,a^2r^2\right)=2\pi\,a^3bc\int\limits_0^1 r^4\,dr=2\pi\,a^3bc\left[\frac{r^5}{5}\right]_0^1=\frac{2}{5}\pi\,a^3bc$$

Mit \(a=8,b=2,c=3\) heißt das:$$\Phi=\frac{2}{5}\pi\,8^3\cdot2\cdot3=\frac{6144}{5}\pi\approx3.860,3891$$

von 128 k 🚀

Moin

@Tschakabumba magst du mir bitte bei dieser Aufgabe helfen?!

https://www.mathelounge.de/742005/wie-bestimme-ich-parameterintegrale-und-differentiation

Grüße

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Hallo

erst mal div(v) berechnen, dann das Integral über das Volumen, Wo liegen deine Schwierigkeiten?

lul

von 93 k 🚀

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