Zeigen Sie, dass unter ihren paarweisen Differenzen mindestens ein Wert viermal auftritt.

Question

Aufgabe:

Es sind 21 verschiedene natürliche Zahlen kleiner 70 gegeben. Zeigen Sie, dass unter ihren paarweisen Differenzen mindestens ein Wert viermal auftritt. Tipp: Betrachten Sie Paare (m,n) mit m<n und m,n<70

Comments

(21 über 2) > 3*69

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Ergänzende Erklärung: Es geht in der Aufgabe um die Anwendung des Schubfachprinzips (Dirichlet).

Answer 1

Wenn gleiche Zahlendifferenzen maximal dreimal vorkommen dürfen, bringt man 19 Zahlen auf dem Abschnitt von 0 bis 70 unter. Zum Beispiel so:

Man soll aber 21 Zahlen auf dem Abschnitt von 0 bis 70 unterbringen. Das gelingt, wenn (mindestens) eine Differenz 4-mal auftritt, im Beispiel die Differenz 1 (und die Differenz 2).