Hallo,
sei$$f : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto\left\{\begin{array}{l} \frac{x \cdot y}{x^{2}+y^{2}} \text { für } x \neq 0 \text { oder } y \neq 0 \\ 0 \text { für } x=0 \text { und } y=0 \end{array}\right.$$ Schreibe in Polarkoordinaten, also \(x\) als \(x=r\cdot \cos \varphi\) und \(y=r \sin \varphi\) und \(r^2=x^2+y^2\). Interessant ist nur, was passiert,wenn \((x,y)\to (0,0)\). In Polarkoordinaten:$$\lim\limits_{r\to 0}\frac{r^2\sin\varphi \cos \varphi}{r^2}=\lim\limits_{r\to 0}\sin\varphi \cos \varphi=\sin\varphi \cos \varphi$$ Da dieser Grenzwert vom Winkel \(\varphi\), von dem man sich an \((0,0)\) annhähert, abhängt, ist \(f\) in \((0,0)\) nicht stetig.
Nicht nur \(f\), sondern jede Funktion ist bzgl. der diskreten Metrik stetig.
