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Es ist zu zeigen, dass \(\Large f: \mathbb{C}\backslash \{0\} \to \mathbb{C}, \, z\mapsto \frac{e^{-iz}-1+iz}{z^2}\) stetig ist.

könnte mir jemand vielleicht nur mal den Ansatz/ die Methode nennen, mit der man das beweisen kann? Mein Problem liegt eher darin, dass es die Komplexen Zahlen sind...wie gehe ich denn da vor? einfach mit den Beträgen Arbeiten?


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Du meinst vermutlich \(\Large f: \mathbb{C}\backslash \{0\} \to \mathbb{C}, \, z\mapsto \frac{e^{iz}-1+iz}{z^2}\), richtig?

nein schon mit Minus im Exponenten...so wies da steht

Stimmt, sorry. Du meinst \(\Large f: \mathbb{C}\backslash \{0\} \to \mathbb{C}, \, z\mapsto \frac{e^{-iz}-1+iz}{z^2}\). Habe ich reineditiert.

hier könnte man doch mit den Rechenregeln für stetige Funktionen argumentieren.

Der Zähler ist stetig, da die exp(-iz) stetig ist (Komposition von stetigen Funktionen), -1 ist eine konstante also stetig und -iz ist ebenfalls stetig.

Es gilt für den Nenner: z2 ≠ 0 (wegen dem Definitionsbereich), daraus folgt dann die Stetigkeit der Funktion.

Natürlich müsste man hier noch ein paar wichtige Eigenschaften zeigen (z.B. dass für jeden Punkt x∈ ℂ es eine Epsilon Umgebung gibt, sodass y2≠0 für alle |x-y| < Epsilon, etc.) um zu zeigen, dass man hier die Rechenregeln anwenden kann.

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen!


LG

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