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Aufgabe:

a) Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung |z| · z ̄ = iz, z ∈ C.

b) Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung |z − 1| = |z + 1|, z ∈ C.

Geben Sie die Lösungen dabei jeweils in der Form x + iy mit x, y ∈ R an.

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Ich mal (a)

$$ |z| \overline{z} = i z $$ ergibt $$  | \ |z| \ \overline{z} \ | = |z|^2 = |z| $$ also \( |z| = 1 \)

Mit $$ z = r e^{i \varphi}  $$ ergibt sich \( r = 1 \) und die Gleichung \( e^{-i\varphi} = i e^{i\varphi}   \) oder

$$ 1 = i e^{2i\varphi}  $$ also \( \cos(2\varphi) = 0 \) und \( \sin(2\varphi) = -1 \)

Das ergibt \( \varphi = \frac{3}{4} \pi +k \pi\) mit \( k \in \mathbb{Z} \) also $$ z = (-1)^k \frac{ \sqrt{2} }{2} (-1+i) $$

D.h. es gibt nur zwei Lösungen

$$ z_1 = \frac{ \sqrt{2} }{2} (-1+i)  $$ und $$ z_2 = \frac{ \sqrt{2} }{2} (1-i) = \overline{z_1}  $$


$$ |z-1| = |z+1| $$ folgt $$ (z-1)\overline{(z-1)} = (z+1)\overline{(z+1)} $$ also

$$ z+\overline{z} = 0 $$ uind deshalb $$ \operatorname{Re}(z) = 0  $$ D.h, alle rein imaginären Zahlen sind die Lösung.

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