Induktionsbeweis 9 | (19^n+8^(2n-1) )

Question

Aufgabe:

Induktionsbeweis 9 |( 19^n+8^(2n-1) )

Problem/Ansatz:

IA: mit n=1 -->9|27

IV: 9k=19^n+8^(2n-1) k e R

IB: mit n+1

   9|(19^(n+1)+8^(2(n+1)-1)

IS: 9k= 19^(n+1)+8^(2(n+1)-1)

   = 19^(n+1)+8^(2n+1)

   =19*19^n+8+8^(2n)

Hallo wir haben ein Problem bei diesem Induktionsbeweis. Wir bereiten uns gerade auf eine Klausur vor. Leider kommen wir an dieser Stelle nicht weiter.

Über Hilfe würden wir uns freuen.

Liebe Grüße

Comments

EDIT: Habe fehlende schliessende Klammer ergänzt (erfunden). D.h.

aus

9 | ( 19^n+8^(2n-1) 

habe ich

9 | ( 19^n+8^(2n-1) )

gemacht. Hoffe, das passt so.

Answer 1

Hallo,

zu zeigen: \(9|\,19^n+8^{2n-1} \)

Übergang von \(n\) nach \(n+1\):$$\begin{aligned} 19^{n+1}+8^{2(n+1)-1} &= 19 \cdot 19^n + 8^2\cdot 8^{2n-1} \\ &= 19 \cdot 19^n + (19 + 45)\cdot 8^{2n-1}  \\ &= 19(19^n + 8^{2n-1}) + 45 \cdot 8^{2(n+1)-1}\\ &\equiv 45 \cdot 8^{2(n+1)-1} \mod 9\\ &\equiv 0  \mod 9\\ \end{aligned}$$

Answer 2

Muss es wirklich euin Induktionsbeweis sein?

8≡-1 mod 9, dann gilt auch 8^2n-1≡ -1 mod 9.

Außerdem gilt                         19 ≡ 1 mod 9

Addition ergibt:               8^2n-1+19≡0 mod 9