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Aufgabe:

Induktionsbeweis 9 |( 19^n+8^(2n-1) )


Problem/Ansatz:

IA: mit n=1 -->9|27

IV: 9k=19^n+8^(2n-1) k e R

IB: mit n+1

   9|(19^(n+1)+8^(2(n+1)-1)

IS: 9k= 19^(n+1)+8^(2(n+1)-1)

   = 19^(n+1)+8^(2n+1)

   =19*19^n+8+8^(2n)

Hallo wir haben ein Problem bei diesem Induktionsbeweis. Wir bereiten uns gerade auf eine Klausur vor. Leider kommen wir an dieser Stelle nicht weiter.

Über Hilfe würden wir uns freuen.

Liebe Grüße

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EDIT: Habe fehlende schliessende Klammer ergänzt (erfunden). D.h.

aus

9 | ( 19^n+8^(2n-1) 

habe ich

9 | ( 19^n+8^(2n-1) )

gemacht. Hoffe, das passt so.

2 Antworten

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Hallo,

zu zeigen: \(9|\,19^n+8^{2n-1} \)

Übergang von \(n\) nach \(n+1\):$$\begin{aligned} 19^{n+1}+8^{2(n+1)-1} &= 19 \cdot 19^n + 8^2\cdot 8^{2n-1} \\ &= 19 \cdot 19^n + (19 + 45)\cdot 8^{2n-1}  \\ &= 19(19^n + 8^{2n-1}) + 45 \cdot 8^{2(n+1)-1}\\ &\equiv 45 \cdot 8^{2(n+1)-1} \mod 9\\ &\equiv 0  \mod 9\\ \end{aligned}$$

Avatar von 48 k
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Muss es wirklich euin Induktionsbeweis sein?

8≡-1 mod 9, dann gilt auch 82n-1≡ -1 mod 9.

Außerdem gilt                         19 ≡ 1 mod 9

Addition ergibt:               82n-1+19≡0 mod 9

Avatar von 123 k 🚀

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