Welche Zahlen haben 9 Teiler?

Question

Ich benötige bei folgendem Hilfe:

Aufgabe:

a) Welche natürlichen Zahlen mit genau neun Teilern haben 11 als größten Primfaktor?

b) Gibt es eine Zahl mit  (i) genau 40,  (ii) genau 50 Teilern und genau vier unterschiedlichen Primteilern? Begründen Sie Ihre Antworten.

c) Bestimmen Sie die kanonischen Primfaktorzerlegungen von (i)   10! , (ii)  3333, (iii)  358412.

d) Auf wie viele Nullen endet die Zahl  1910 · 10! · 8575 · 3584?  (Begründung!)

Answer 1

a) Welche natürlichen Zahlen mit genau neun Teilern haben 11 als größten Primfaktor?

11⁸ hat 9 Teiler, nämlich 11⁰,  11¹,11²,... 11⁸ .

Allgemein hat eine Potenz p^k einer Primzahl p insgesamt k+1 Teiler (zu b. mit diesem Satz arbeiten).

Ein Produkt p^r·q^s mit Primzahlen p und q hat (r+1)(s+1) Teiler.

Die Gleichung (r+1)(s+1)=9 erfüllt sich außer für r=8 und s=0 nur für r=2 und s=2.

Da der größte Primfaktor 11 sein soll, haben außer 11⁸ noch

11²·2², 11²·3², 11²·5², 11²·7² genau 9 Teiler.       

Answer 2

b) Gibt es eine Zahl mit  (i) genau 40,  (ii) genau 50 Teilern und genau vier unterschiedlichen Primteilern? Begründen Sie Ihre Antworten.

40 = 2*2*2*5

50 = 2*5*5

Comments

c)(ii): (Rechnung im Kopf möglich)

3333
= 3 * 1111
= 3 * (1010+101)
= 3 * (10+1)*101
= 3 * 11 * 101.

101 ist prim, da sie weder durch 3, noch durch 5, noch durch 7 teilbar ist.

Auch andere Rechenwege sind möglich.

Answer 3

Auch wenn der Fragesteller sich schon abgemeldet hat:

zu b)

40=2*2*2*5

Also 4 Primteiler, 3 davon einfach, einer vierfach.

2^4·3·5·7=1680 hat 40 Teiler.

1680 ist vermutlich die kleinste Zahl mit 40 Teilern.

Answer 4

c) Bestimmen Sie die kanonischen Primfaktorzerlegungen von 

(i) 10! = 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10 = 1·2·3·(2^2)·5·(2·3)·7·(2^3)·(3^2)·(2·5) = 2^8·3^4·5^2·7

(ii) 3333 = 3·1111 = 3·11·101

(iii) 358412 = 2^2·89603

d) Auf wie viele Nullen endet die Zahl  1910 · 10! · 8575 · 3584?

1910·10!·8575·3584
= (2·5·191)·(^8·3^4·5^2·7)·(5^2·7^3)·(2^9·7)
= 2^18·3^4·5^5·7^5·191
= 2^13·3^4·7^5·191 · 10^5

Die Zahl endet also nur auf 5 Nullen.