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Aufgabe:


Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktion:

f(x) =xxx x^{x^{x}}


Ansatz:

Ich weiß was die Ableitung von xx x^{x} ist, allerdings weiß nicht welche Regeln ich jetzt für ein weiteres ^x nehmen muss.

Meine Vermutung ist die Kettenregel mit

x(xx) x^{(x^{x})}  

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Probier die Funktion umzuschreiben. Sollte wie bei der Funktion xx Funktionieren nur, dass du das Verfahren 2 mal anwenden musst.

ax kann man in exp(x*ln(a)) umschreiben

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Hallo,

y =x^((xx))

ln(y)=  ln (x^((xx)))

ln(y)= xx * ln(x)

y'/y= xx (1/x +ln2(x) +ln(x)) ->Produktregel für die rechte Seite

y'= (x^((xx))) *(xx (1/x +ln2(x) +ln(x))

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Aloha :)

Mit der Kettenregel liegt du vollkommen richtig. Betrachte dazu:

(f(x)g(x))=(eg(x)=ulnf(x)=v)=eg(x)lnf(x)=a¨ußere(g(x)=ulnf(x)=v+g(x)=u1f(x)=a¨ußeref(x)=innere=v)=innere\left(f(x)^{g(x)}\right)'=\left(e^{\overbrace{g(x)}^{=u}\cdot\overbrace{\ln f(x)}^{=v}}\right)'=\underbrace{e^{g(x)\cdot\ln f(x)}}_{=\text{äußere}}\underbrace{\left(\overbrace{g'(x)}^{=u'}\cdot\overbrace{\ln f(x)}^{=v}+\overbrace{g(x)}^{=u}\overbrace{\underbrace{\frac{1}{f(x)}}_{=\text{äußere}}\,\underbrace{f'(x)}_{=\text{innere}}}^{=v'}\right)}_{=\text{innere}}(f(x)g(x))=f(x)g(x)(g(x)lnf(x)+g(x)f(x)f(x))\phantom{\left(f(x)^{g(x)}\right)'}=f(x)^{g(x)}\left(g'(x)\cdot\ln f(x)+g(x)\,\frac{f'(x)}{f(x)}\right)Damit bestimmen wir zuerst die Ableitung von xxx^x, d.h. f(x)=xf(x)=x und g(x)=xg(x)=x:(xx)=xx(1lnx+x1x)=xx(lnx+1)(x^x)'=x^x\left(1\cdot\ln x+x\,\frac{1}{x}\right)=x^x(\ln x+1)Nun setzen wir f(x)=xf(x)=x und g(x)=xxg(x)=x^x und erhalten:

(xxx)=xxx(xx(lnx+1)=g(x)lnx=lnf(x)+xx=g(x)1x=f(x)/f(x))\left(x^{x^x}\right)'=x^{x^x}\left(\underbrace{x^x(\ln x+1)}_{=g'(x)}\,\underbrace{\ln x}_{=\ln f(x)}+\underbrace{x^x}_{=g(x)}\,\underbrace{\frac{1}{x}}_{=f'(x)/f(x)}\right)(xxx)=xxxxx(ln2x+lnx+1x)\phantom{\left(x^{x^x}\right)'}=x^{x^x}\,x^x\left(\ln^2x+\ln x+\frac{1}{x}\right)(xxx)=xxxxx1(xln2x+xlnx+1)\phantom{\left(x^{x^x}\right)'}=x^{x^x}\,x^{x-1}\left(x\ln^2x+x\ln x+1\right)(xxx)=xxx+x1(xln2x+xlnx+1)\phantom{\left(x^{x^x}\right)'}=x^{x^x+x-1}\left(x\ln^2x+x\ln x+1\right)

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