Question

Wie nahe kommen sich die Punkte auf den beiden Kugeln höchstens?
\( K_{1}:(x-2)^{2}+(y+4)^{2}+(z-5)^{2}=36 \) und \( K_{2}: x^{2}-2 x+y^{2}-8 y+z^{2}-2 z=-17 \)

Problem/Ansatz:

Würde mich sehr über Hilfe freuen. :)

Answer 1

Aloha :)

Die Gleichung der ersten Kugel lautet:$$K_1:\;(x-2)^2+(y+4)^2+(z-5)^2=36$$Sie hat den Mittelpunkt \(M_1(2|-4|5)\) und den Radius \(r_1=6\).

Die Gleichung der zweiten Kugel lautet:$$x^2-2x+y^2-8y+z^2-2z=-17$$$$(x^2-2x+1)+(y^2-8y+16)+(z^2-2z+1)=-17+1+16+1$$$$(x-1)^2+(y-4)^2+(z-1)^2=1$$Sie hat den Mittelpunkt \(M_2(1|4|1)\) und den Radius \(r_2=1\).

Der Abstand der beiden Mittelpunkte voneinander beträgt:$$D=\left\|\begin{pmatrix}1-2\\4-(-4)\\1-5\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}-1\\8\\-4\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{1+64+16}=\sqrt{81}=9$$Ziehen wir dei beiden Radien ab, erhalten wir den gesuchten minimalen Abstand \(d\) der beiden Kugeln:$$d=D-r_1-r_2=9-6-1=2$$

Comments

Ich habe eher eine Frage zur Fragestellung an sich:

Wie nahe kommen sich die Punkte auf den beiden Kugeln höchstens?

Ist das jetzt die Frage nach dem kleinsten (mindest) Abstand oder die Frage nach dem höchsten Abstand.

Im Rahmen von Corona haben wir gelernt wir benötigen einen Mindestabstand von 1.5 m. Das ist also der minimale Abstand den zwei Personen haben dürfen.