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Aufgabe:

Eigenvektoren von (1t02) \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 2 \end{pmatrix} bestimmen :

Die Eigenwerte habe ich schon berechnet : λ1=1, λ2=2

Bei der Berechnung des Eigenvektors für λ1=1 habe ich folgendes Problem :

Nach Einsetzen des Eigenwerts bekomme ich folgendes Gleichungssystem :

0x1+tx2=0

0x1+1x2=0

x2 wäre ja demnach 0, was jedoch laut der Lösung nicht stimmt.

Eigenvektoren nach der Musterlösung :

(1, 0) für den ersten Eigenwert

(0 , (1-t)) für den zweiten Eigenwert

Ich bitte um Hilfe

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Was sagt denn die Lösung?

(1, 0) für den ersten Eigenwert

(0 , (1-t)) für den zweiten Eigenwert

1 Antwort

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Aloha :)

Die Summe der Eigenwerte muss =3=3 sein (Spur der Matrix) und das Produkt der Eigenwerte muss =2=2 sein (Determinante der Matrix). Daher stimmen deine Eigenwerte:λ1=1;λ2=2\lambda_1=1\quad;\quad\lambda_2=2Zur Bestimmung der Eigenvektoren müssen wir folgnede Gleichung lösen:(1λt02λ)(x1x2)=(00)\begin{pmatrix}1-\lambda & t \\ 0 & 2-\lambda\end{pmatrix}\cdot\binom{x_1}{x_2}=\binom{0}{0}

Für λ1=1\lambda_1=1 erhalten wir:x1x2=Operation1λt0λ=1 einsetzen02λ0λ=1 einsetzen\begin{array}{rrrl}x_1 & x_2 & = & \text{Operation}\\\hline1-\lambda & t & 0 & \lambda=1\text{ einsetzen} \\ 0 & 2-\lambda & 0& \lambda=1\text{ einsetzen}\end{array}x1x2=0t0010\begin{array}{rrrl}x_1 & x_2 & = \\\hline0 & t & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}Das heißt tx2=0    x2=0tx_2=0\;\land\;x_2=0. Selbst für t=0t=0 muss also x2=0x_2=0 gelten. An x1x_1 sind keine Bedingungen gestellt, daher kann x1x_1 beliebig gewählt werden. Wir haben den ersten Eigenvektor gefunden:v1=R(10)\vec v_1=\mathbb R\cdot\binom{1}{0}

Für λ2=2\lambda_2=2 erhalten wir:x1x2=Operation1λt0λ=2 einsetzen02λ0λ=2 einsetzen\begin{array}{rrrl}x_1 & x_2 & = & \text{Operation}\\\hline1-\lambda & t & 0 & \lambda=2\text{ einsetzen} \\ 0 & 2-\lambda & 0& \lambda=2\text{ einsetzen}\end{array}x1x2=1t0000\begin{array}{rrrl}x_1 & x_2 & =\\\hline-1 & t & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}Das heißt x1+tx2=0-x_1+tx_2=0 bzw. x1=tx2x_1=tx_2. Wir haben den zweiten Eigenvektor gefunden:v2=R(t1)\vec v_2=\mathbb R\cdot\binom{t}{1}

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