Primärzerlegung und Jordansche Normalform

Question

Aufgabe: Es wird dieFunktion f(x)=Ax im reellen Raum betrachtet, wobei A eine Matrix ist.

A=

3	0	0
0	-1	0
1	-4	3

Nun soll eine Primärzerlegung ℝ³=V⊕W und die Jordansche Normalform von A bestimmt werden.

Problem/Ansatz: Ist das so richtig?

Ich habe mit dem charakteristischen Polynom von A die doppelte Nullstelle 3 und die einfache Nullstelle -1 errechnet. V und W habe ich mit dem Kern berechnet. V=span((1,0,0),(0,0,1)) und W=span(0,1,1).

Jordansche Normalform: J=

3	0	0
0	3	0
0	0	-1

Meine Begründung ist, dass geometrische und algebraische Vielfacheit bei 3 und -1 übereinstimmen.

Answer 1

Es ist

$\small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&-1&\left(\begin{array}{rrr}4&0&0\\0&0&0\\1&-4&4\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&3&\left(\begin{array}{rrr}0&0&0\\0&-4&0\\1&-4&0\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)$

Also jeweils DimEigenraum =1 aber λ=3 doppelt (alg.Vielfachheit=2)

das heißt Hauptvektorsuche λ=3

$\small (A - \lambda E)^2 \, := \, \left(\begin{array}{rrr}0&0&0\\0&16&0\\0&16&0\\\end{array}\right)$

===>

$\small HVKandidaten \, := \, \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&0\\0&1\\\end{array}\right)$

===>

HV2= HVKandidaten(1) ∉ Kern (A-λ E)

HV1= (A-λ E) (1,0,0)^T =(0,0,1)^T

===>

$\small T \, := \, \left(\begin{array}{rrr}0&0&1\\1&0&0\\1&1&0\\\end{array}\right)$

===>

$\small T^{-1} A \;T=D \, := \, \left(\begin{array}{rrr}-1&0&0\\0&3&1\\0&0&3\\\end{array}\right)$

Comments

Achso mit T^-1*A*T=D geht das ja auch. Alles klar, danke.

Kannst du mir aber sagen, was dann bei meinem letzten Schritt, also, dass die algebraische und geometrische Vielfachheit von dem Eigenwert 3 gleich ist, falsch ist? Kann man daraus nichts über die Jordansche Normalform folgern? Oder interpretier ich das falsch?

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Das sehe ich nicht, Du hast ja keine Rechnung angegeben.

Wenn Du die Matrix zum EW 3 anschaust, dann siehst Du, das nur eine Zeile rausfällt , also ein Eigenvektor gefunden wird und keine 2 wie sie ein doppelter EW bei gleicher Vielfachheit haben sollte.

Also ist eine Hauptvektorsuche notwendig und zum EW 3 gehört ein Jordankästchen mit einer 1 in der Nebendiagonale.

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Also schaut man sich nicht die Matrix (A-3E)², sondern (A-3E)=

0	0	0
0	-4	0
1	-4	0

an? Dann würde es ja, so wie du es machst passen... Ich hatte die Quadrierte genommen.

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Ich untersuche ja erstmal den EW auf EV und erst dann, wenn die geom. Vielfachheit nicht zur alg. passt (wenn (A-λ E)=0 nicht genügend EV liefert) erfolgt eine Hauptvektorensuche über die Potenzen

(A-λ E)^N=0,

wobei N so gewählt wird, daß die Lösung des LGS die Dim des Eigenraumes abdeckt. Und Hauptvektoren bilden Jordankästchen mit 1 in der Nebendiagonalen...