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Aufgabe: Es wird dieFunktion f(x)=Ax im reellen Raum betrachtet, wobei A eine Matrix ist.

A=

300
0-10
1-43

Nun soll eine Primärzerlegung ℝ^3=V⊕W und die Jordansche Normalform von A bestimmt werden.


Problem/Ansatz: Ist das so richtig?

Ich habe mit dem charakteristischen Polynom von A die doppelte Nullstelle 3 und die einfache Nullstelle -1 errechnet. V und W habe ich mit dem Kern berechnet. V=span((1,0,0),(0,0,1)) und W=span(0,1,1).

Jordansche Normalform: J=

300
030
00-1

Meine Begründung ist, dass geometrische und algebraische Vielfacheit bei 3 und -1 übereinstimmen.

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Es ist

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&-1&\left(\begin{array}{rrr}4&0&0\\0&0&0\\1&-4&4\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&3&\left(\begin{array}{rrr}0&0&0\\0&-4&0\\1&-4&0\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

Also jeweils DimEigenraum =1 aber λ=3 doppelt (alg.Vielfachheit=2)

das heißt Hauptvektorsuche λ=3

\(\small (A - \lambda E)^2 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}0&0&0\\0&16&0\\0&16&0\\\end{array}\right)\)

===>

\(\small HVKandidaten \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&0\\0&1\\\end{array}\right)\)

===>

HV2= HVKandidaten(1) ∉ Kern (A-λ E)

HV1= (A-λ E) (1,0,0)^T =(0,0,1)^T

===>

\(\small T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}0&0&1\\1&0&0\\1&1&0\\\end{array}\right)\)

===>

\(\small T^{-1} A \;T=D \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-1&0&0\\0&3&1\\0&0&3\\\end{array}\right)\)

Avatar von 21 k

Achso mit T^-1*A*T=D geht das ja auch. Alles klar, danke.

Kannst du mir aber sagen, was dann bei meinem letzten Schritt, also, dass die algebraische und geometrische Vielfachheit von dem Eigenwert 3 gleich ist, falsch ist? Kann man daraus nichts über die Jordansche Normalform folgern? Oder interpretier ich das falsch?

Das sehe ich nicht, Du hast ja keine Rechnung angegeben.

Wenn Du die Matrix zum EW 3 anschaust, dann siehst Du, das nur eine Zeile rausfällt , also ein Eigenvektor gefunden wird und keine 2 wie sie ein doppelter EW bei gleicher Vielfachheit haben sollte.

Also ist eine Hauptvektorsuche notwendig und zum EW 3 gehört ein Jordankästchen mit einer 1 in der Nebendiagonale.

Also schaut man sich nicht die Matrix (A-3E)^2, sondern (A-3E)=

000
0-40
1-40

an? Dann würde es ja, so wie du es machst passen... Ich hatte die Quadrierte genommen.

Ich untersuche ja erstmal den EW auf EV und erst dann, wenn die geom. Vielfachheit nicht zur alg. passt (wenn (A-λ E)=0 nicht genügend EV liefert) erfolgt eine Hauptvektorensuche über die Potenzen

(A-λ E)^N=0,

wobei N so gewählt wird, daß die Lösung des LGS die Dim des Eigenraumes abdeckt. Und Hauptvektoren bilden Jordankästchen mit 1 in der Nebendiagonalen...

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