Eine Menge in Topologischer Raum zeigen ...

Question

Aufgabe:

Sei (X,T) ein topologischer Raum mit der Hausorff-Eigenschaft und sei x ∈ X: Zeige ;

Die Menge (x) ist abgeschlossen .

Problem/Ansatz:

Wie kann ich das zeigen ?

Answer 1

Sei $x\in X$.

Wenn $X=\{x\}$ ist nichts zu zeigen, da der ganze Raum immer abgeschlossen ist.

Falls $\#X ≥ 2$ existiert wegen der Hausdorff-Eigenschaft (es reicht auch T1) für jedes $y ∈ X\setminus\{x\}$ eine offene Umgebung $U_y$ die x nicht enthält. Das Komplement $$\{x\}^c = X\setminus\{x\} =\bigcup_{y\in X\setminus\{x\}} U_y$$ ist als Vereinigung offener Mengen selbst offen, also ist $\{x\}$ abgeschlossen.