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Hallo, wie habe ich folgende Aufgabe zu verstehen:

$$\text{Wir betrachten den Körper } \mathbb{R} \text{ der reellen Zahlen als } \mathbb{Q} \text{ -Vektorraum.}\\ \text{ Zeigen Sie, dass 1 und } a \in \mathbb{R} \text{ genau dann linear abhängig sind, wenn } a \in \mathbb{Q} \text{ ist.}$$

Linear abhängig bedeutet, dass sich der Nullvektor durch eine Linearkombination erzeugen lässt, wobei mindestens einer der Koeffizienten ungleich Null ist.

Inwiefern hilft mir das jetzt hier weiter? Danke schon mal im voraus!

von

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Sei \( a \in \mathbb{R} \). zz. \( (1,a) \) linear abhängig \( \iff \) \( a \in \mathbb{Q} \)

"\(\implies\)": Sei (1,a) linear abhängig, dann existieren \( \lambda_1, \lambda_a \in \mathbb{Q} \) (Wir sind in einem \( \mathbb{Q} \)-Vektorraum!) mit \( (\lambda_1, \lambda_a) \neq (0,0) \) (d.h. nicht alle Koeffizienten sind 0) s.d.

$$ \lambda_1 \cdot 1 + \lambda_a \cdot a = 0 \iff \lambda_a \cdot a = - \lambda_1 \cdot 1 $$

Angenommen \( \lambda_a = 0 \), dann ist \( \lambda_1 \neq 0 \), aber aus der obigen Gleichheit folgt direkt \( -\lambda_1 \cdot 1 = 0 \implies \lambda_1 = 0 \). Widerspruch.

Somit ist \( \lambda_a \neq 0 \) und $$ \lambda_1 \cdot 1 + \lambda_a \cdot a = 0 \iff a = \frac{- \lambda_1 \cdot 1}{\lambda_a} $$ a ist somit ein Bruch rationaler Zahlen und deshalb selbst rational.

"\(\impliedby\)": Sei \( a \in \mathbb{Q} \).

Falls \(a = 0 \) ist \( (1,a)=(1,0) \) linear abhängig, da es den Nullvektor enthält.

Falls \( a \neq 0 \) ist $$ \underbrace{a}_{:=\lambda_1} \cdot 1 + \underbrace{(-1)}_{:=\lambda_a} \cdot a = 0 $$ eine nichtriviale Linearkombination der 0, folglich ist \( (1,a) \) linear abhängig.

von 1,3 k

achso ist das gemeint... Ja, ist eigentlich logisch. Danke dir! :) Ich habe es verstanden.

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