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Gegeben sei der ℝ² mit der üblichen Addition

(x1,x2)+(y1,y2) := (x1+y1,x2+y2)

 

Zeige: der ℝ² wird zu einem Vektorraum über ℂ, wenn man zu dieser Addition die Skalarmultiplikation

(a+bi)*(x1,x2):=(ax1-bx2,ax2+bx1)

 

a.b.x1,x2 elemente R, hinzufügt.
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Da die Standardaddition unangetastet bleibt, ist der entstehende Körper weiterhin eine abelsche Gruppe. Zu zeigen ist also:

 

i) Für z, w∈ℂ und v∈ℝ2 gilt: z*(w*v) = (z*w)*v

ii) Für z∈ℂ und v, w∈ℝ2 gilt: z*(v+w) = z*v+z*w

iii) Für z, w ∈ℂ und v∈ℝ2 gilt: (z+w)*v = z*v+w*v

iv) 1*v = v

In allen vier Punkten wähle ich für Elemente x aus ℂ die Schreibweise x = a+ib (mit fortlaufenden Buchstaben des Alphabets) und für Elemente aus ℝ2 die Schreibweise x = (x1, x2)

 

iv) ist sehr einfach, das Einselement aus ℂ ist 1+0i:

Damit folgt: (1+0i)*(v1, v2)=(v1-0*v2, v2+0*v1) = (v1,v2) = v

 

i) (a+ib)*((c+id)*(v1, v2)) = (a+ib)*(cv1-dv2, cv2+dv1) = (acv1-adv2-bcv2-bdv1, acv2+adv1 + bcv1-bdv2)

= ((ac-bd)v1-(ad+bc)v2, (ad+bc)v1+(ac-bd)v2) = ((ac-bd)+(ad+bc)i) * (v1,v2) = ((a+bi)*(c+di))*(v1,v2) = (z*w)*v

 

ii) (a+bi)*((v1,v2)+(w1,w2)) = (a+bi)*(v1+w1, v2+w2) = (av1+aw1-bv2-bw2, bv1+bw1+av2+aw2)

= (av1-bv2, bv1+av2) + (aw1-bw2, bw1+aw2) = (a+bi)*v + (a+bi)*w = z*v+z*w

 

iii) ((a+bi)+(c+di))*(v1,v2) = ((a+c)+i(b+d))*(v1,v2) = ((a+c)v1-(b+d)v2, (b+d)v1 + (a+c)v2) = (av1-bv2, bv1+av2)+(cv1-dv2, dv1+cv2) = (a+ib)*(v1,v2) + (c+id)*(v1,v2)

 

Also handelt es sich um einen ℂ-Vektorraum.

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