\(f_n\) hat den Hochpunkt \(\left(\frac{1}{n+1}, \frac{n}{n+1}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n\right)\).
Für \(n\to\infty\) konvergiert die \(x\)-Koordinate des Hochpunktes gegen 0.
Es gilt
\(\begin{aligned} \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n} & =\frac{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}}\\ & =\frac{\left(1+\frac{-1}{n+1}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}}\\ & \stackrel{n\to\infty}{\to}\frac{e^{-1}}{1}\\ & =\frac{1}{e} \end{aligned}\)
und
\(\begin{aligned} \frac{n}{n+1} & \stackrel{n\to\infty}{\to}1 \end{aligned}\)
also konvergiert die y-Koordinate des Hochpunktes gegen \(\frac{1}{e}\) für \(n\to \infty\).
Weil die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenzfunktion ist
\(\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0\,\forall x\in (0,1]\).
Somit ist
\( f:[0,1]\to\mathbb{R},x \mapsto \begin{cases} \frac{1}{e}&\text{für } x=0 \\ 0&\text{für } x\neq 0 \end{cases} \)
der Grenzwert von \(\left(f_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\).
\(f\) ist nicht stetig aber alle \(f_n\) sind stetig.
