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Gegeben sei die Funktionsfolge fn = n·x·(1-x)n im Intervall [0,1]

A.) Gegen welchen Grenzwert konvergiert die Folge punktförmig?

B.) Ist die Funktionsfolge f(n) gleichmäßig Konvergent.

von

3 Antworten

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Hallo,

die Funktionenfolge konvergiert punktweise gegen \(0\). Für \(x\in (0,1]\) gilt \(|1-x|<1\), dann ist \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty} n x(1-x)^n =0\). Für \(x=0\) gilt \(\lim\limits_{n\to\infty}n\cdot 0\cdot 1^n=0\).

Wegen \(||f_n||_\infty\ge f_n\left(\frac 1 n\right)=\left(1-\frac 1 n\right)^n\to e^{-1}\ne0\) konvergiert die Funktionenfolge aber nicht gleichmäßig auf \([0,1]\).


von 23 k

Super Animation. Einfach nur schön anzusehen.

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Wenn man mal "x" durch "p" ersetzt, erinnert der Term sehr stark an die Wahrscheinlichkeit, in einer Bernoullikette der Länge n und der Trefferwahrscheinlichkeit p genau einen Treffer zu erhalten...

Wie wahrscheinlich ist es denn, bei unendlich vielen Versuchen nur genau einmal zu treffen?

Dabei sollte man die Fälle:

"Trefferwahrscheinlicheit ist 0"

"Trefferwahrscheinlicheit ist 1"

"Trefferwahrscheinlicheit ist zwischen 0 und 1" unterscheiden.

von 21 k

Ich verstehe nicht, was du mir jetzt sagen willst. Hätte aber mal auf 0 getippt für die Wahrscheinlichkeit

Ich verstehe nicht, was du mir jetzt sagen willst. Hätte aber mal auf 0 getippt für die Wahrscheinlichkeit

Das mit dem "Tippen" ist so eine Sache. Auf alle Fälle liefert die stochastische Interpretation der Aufgabenstellung in allen drei Fällen den Wert 0.

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\(f_n\) hat den Hochpunkt \(\left(\frac{1}{n+1}, \frac{n}{n+1}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n\right)\).

Für \(n\to\infty\) konvergiert die \(x\)-Koordinate des Hochpunktes gegen 0.

Es gilt

        \(\begin{aligned} \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n} & =\frac{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}}\\ & =\frac{\left(1+\frac{-1}{n+1}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}}\\ & \stackrel{n\to\infty}{\to}\frac{e^{-1}}{1}\\ & =\frac{1}{e} \end{aligned}\)

und

        \(\begin{aligned} \frac{n}{n+1} & \stackrel{n\to\infty}{\to}1 \end{aligned}\)

also konvergiert die y-Koordinate des Hochpunktes gegen \(\frac{1}{e}\) für \(n\to \infty\).

Weil die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenzfunktion ist

        \(\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0\,\forall x\in (0,1]\).

Somit ist

\( f:[0,1]\to\mathbb{R},x \mapsto \begin{cases} \frac{1}{e}&\text{für } x=0 \\ 0&\text{für } x\neq 0 \end{cases} \)

der Grenzwert von \(\left(f_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\).

\(f\) ist nicht stetig aber alle \(f_n\) sind stetig.

von 58 k 🚀

Die Aussage von Oswald ist nicht ganz richtig: Es ist für alle \(n \in \mathbb{N}\) \(f_n(0)=0\). Also ist auch der Grenzwert \(f(0)=0\).

Allerdings zeigen die Überlegungen von Oswald, dass die Konvergenz nicht gleichmäßig ist.

Im Nachhinein scheint es mir auch etwas willkürlich, dass ich den Hochpunkt herausgegriffen habe.

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