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Hey,

die Abbildung lautet f: ℝ3∖{(0,0,z):z∈ℝ}-> ℝ3, (x,y,z)->(x(x2+y2),y(x2+y2),z)

a) Zeige f gibt einen Diffeomorphismus auf ℝ3∖{(0,0,z):z∈ℝ}

b) Wie bestimmt man welchen Flächeninhalt das Bild des Zylinderstücks Z={(x,y,z):x2+y2=1,z∈[-1,1]} unter f hat?

c) Erhält man mit der Einschränkung von f auf Z eine Karte für f(Z)?

vor von

a)

Dies ist eine Anwendung des Satzes über lokale Umkehrbarkeit. Berechne die Determinante der Jacobimatrix:$$\det J_f(x,y,z)=\det \begin{pmatrix} 3x^2+y^2 & 2xy & 0 \\ 2xy & 3y^2+x^2 & 0 \\ 0 &0 & 1 \end{pmatrix}=\det \begin{pmatrix} 3x^2+y^2 & 2xy \\ 2xy & 3y^2+x^2 \end{pmatrix}=3(x^2+y^2)^2>0$$ Diese ist für alle \((x,y)\neq (0,0)\) größer Null. Nach dem Satz über die lokale Umkehrbarkeit exisitieren nun offene Umgebungen und ein Diffeomorphismus zwischen diesen.

Hallo kann man das wirklich auch so zeigen? Wir hatten das immer mit Bijektivität und Stetig differenzierbar

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